Методические указания к выполнению практической работы

1. Повторите определение и методы численного дифференцирования; проработайте пример 1; выполните задание № 1

2. Повторите определение и методы численного интегрирования; проработайте пример 2; выполните задание № 1

Определение 1. Численное дифференцирование — совокупность методов вычисления значения производной дискретно заданной функции

Производная: ;

Методы численного дифференцирования

(для первой производной)

1. Правосторонняя разность (шаг вправо)

2. Левосторонняя разность (шаг влево)

3. Двусторонняя разность

 

 

Пример 1. Вычислить точное и приближенное (тремя методами) значения производной функции  в точке   с шагом  и

Аналитическое решение:

Численное решение:

1) для шага

1 метод: ; погрешность

2 метод: ; погрешность

3 метод: ; погрешность

2) для шага

1 метод: ; погрешность

2 метод: ; погрешность

3 метод: ; погрешность

 

Определение 2. Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определённого интеграла

ЧИ применяется, если:

1. подынтегральная функция не задана аналитически (например, в виде таблицы)

2. первообразная не выражается через аналитические функции (н-р: )

Методы численного интегрирования

1. Метод прямоугольников.

Криволинейная трапеция разбивается на n трапеций с минимальным шагом h; площадь каждой криволинейной трапеции заменяется площадью приблизительно равновеликого прямоугольника.

Площади прямоугольников складываются

 

2. Метод трапеций.

Криволинейная трапеция разбивается на n трапеций с минимальным шагом h; площадь каждой криволинейной трапеции заменяется площадью приблизительно равновеликой «прямолинейной» трапеции.

Площади трапеций складываются

 

 

 

3. Метод Симпсона (метод парабол).

Криволинейная трапеция разбивается на n трапеций с минимальным шагом h; площадь каждой криволинейной трапеции заменяется площадью приблизительно равновеликой трапеции, ограниченной некоторой параболой.

Площади трапеций складываются

 

 

 

Пример 2. По формуле трапеций вычислить при п =5

Решение: выберем

	0	1	2	3	4	5

Используя формулу, получаем:

 

Вопросы для самоконтроля:

1. Перечислите двухточечные методы численного дифференцирования

2. Опишите метод прямоугольников

3. Опишите метод парабол (Симпсона)

4. Опишите метод трапеций