Последовательность выполнения работы

Рассмотрим решение задач на примере двухопорной балки AB, нагружённой внешними силовыми факторами: сосредоточенной силой F = 20 кН, моментнойизгибающей нагрузкой М_е = 60 кН× м и на участке ВЕ сплошной нагрузкой с q = 30 кН/м. Длины участков балки примем равными:

AC = a = 1 м, CD = b = 1 м, DE = c = 0,5 м, BE = d = 2 м.

Рис.1

ЗАДАЧА I

1.1. Построение эпюр сил и моментов

Под действием внешних силовых факторов и опорных реакций балка будет находиться в равновесии. Пренебрегая силами тяжести масс самой балки, из условий равновесия найдём опорные реакции R_A и R_B, вызванные заданными нагрузками, и определим их действительное
направление.

1. Составим уравнения статики равновесия внешних изгибающих моментов M_e относительно опоры A и затем относительно опоры B:

Знаки моментов определяются в соответствии со схемой

Отсюда .

Подставив в эти выражения числовые значения заданных величин, найдём реакции: R_B = 42,2 кН и R_А = 37,8 кН.

В нашем примере обе реакции положительны, значит, их направления выбраны верно[1].

2. Выполним проверку вычисленных значений R_A и R_B:

; – тождество.

Отметим, что заданный внешний момент входит только в уравнение моментов.

Таким образом, силы реакций вычислены верно.

Такую проверку необходимо производить, т.к. ошибка в определении опорных реакций неминуемо приведёт к ошибкам в построении эпюр.

3. Чтобы построить эпюры Q и M, пользуясь известным в сопротивлении материалов методом сечений, рассчитаем их числовые значения во всех последовательно проведённых поперечных сечениях балки по всей её длине. Для этого рассмотрим произвольные сечения I - I, II - II, III - III
и IV - IV (см. рисунок (с. 14)) с переменными аргументами
в пределах каждого грузового участка: AC, CD, DE, BE соответственно.

При вычислении внутренних поперечных сил Q и внутренних изгибающих моментов M важно правильно определить их знаки. При этом часто возникают ошибки, т.к. механически переносят правила знаков, принятые в статике твёрдого тела для внешних силовых факторов.

Внутренняя перерезывающая сила Q в поперечном сечении балки, равна сумме проекций на ось y всех внешних сил, действующих на мысленно отсечённую часть:

(1)

и принимается положительной, если равнодействующая этих внешних сил слева от рассматриваемого сечения направлена вверх, а справа
от рассматриваемого сечения – вниз, и отрицательной – в противоположном случае.

Внутренний изгибающий момент М в сечении равен сумме моментов внешних сил, действующих на отсечённую часть балки:

(2)

считается положительным, если в рассматриваемом сечении балка изгибается выпуклостью вниз, и отрицательным, если он изгибает балку в сечении выпуклостью вверх.

Составим аналитическое выражение (1) в общем виде (с учётом принятого правила знаков) внутренних поперечных сил Q (см. рисунок
(с. 14)): для участка АС по переменной ; для участка CD по переменной и для участка DE по переменной , взятых справа от опоры А, а для участка ВЕ по переменной , взятой слева от опоры В, т.к. справа от сечения IV-IV внешних сил меньше, чем слева, поэтому вычислить будет проще:

;

Построение эпюры Q

Эпюра Q есть график, ординаты которого в каждом сечении выражают в известном масштабе величину внутренней поперечной силы[2].

Возьмём сечение I-I между точками A и C на расстоянии х ₁ от опоры A (см. рисунок (с. 14)).

Рассматривая левую отсечённую часть, найдём значение силы Q
в сечении I-I как сумму внешних сил на этой условно отсечённой левой части балки:

(3)

Из уравнений (3) видно, что внутренняя поперечная сила на участке АС положительна и не зависит от значений абсциссы х ₁ (переменная х ₁
не входит в эти уравнения, т.е. её эпюра на этом участке балки – линия нулевого порядка (см. ЭQ нарисунке (с. 14)).

Для построения эпюры на следующем нагруженном участке CD рассмотрим сечение II-II на расстоянии х ₂ от опоры А.

Выражение (1) для этого участка по переменной будет аналогично предыдущему, как и по первого участка:

(4)

(учитываем, что заданный внешний момент входит только в уравнение моментов).

Таким образом, как следует из выражения (4), на участке CD эпюра внутренних поперечных сил будет являться продолжением линии нулевого порядка участка AC с ординатой 37,8 кН.

Пользуясь теми же выкладками, составим выражение (1) для сечения III-III между точками D и E на расстоянии от опоры A:

кН.

(5)

Переменная также не входит в уравнение (5), поэтому и на участке DE эпюра поперечных сил будет линией нулевого порядка с ординатой 17,8 кН. В точке приложения силы кН (см. ЭQ на рисунке (с. 14)) эпюра поперечных сил делает скачок на величину этой силы.

Составим аналитическое выражение (1) для сечения IV-IV между точками В и Е на расстоянии от правой опоры В:

кН.

(6)

Уравнение (6) является уравнением первой степени, т.е. прямой линии (переменная в первой степени), поэтому её можно построить по двум точкам, для чего достаточно вычислить два крайних значения на рассматриваемом участке ВЕ:

– при Q_y (d) = q × d – R_В = 30 × 2 – 42,2 = 17,8 кН;

– при Q_y (0) = - R_В = -42,2 кН.

Соединив точки этих двух значений, получаем на участке ВЕ наклонную прямую, которая пересекает нулевую линию (см. рисунок (с. 14)).

Построение эпюры М

Для построения эпюры внутренних изгибающих моментов[3] М, пользуясь методом сечений, составим аналитическое выражение в общем виде (2) для каждого из четырёх грузовых участков балки по переменным х ₁, х ₂, х ₃, х ₄:

кН×м;	(7)
кН×м;	(8)
кН×м;	(9)
кН×м.	(10)

Уравнения (7) –(9) являются уравнениями первой степени с переменными х, поэтому на участках АС, CD и DE момент M будет меняться по закону прямой линии. Для построения эпюры на этих трёх грузовых участках достаточно задаться двумя крайними значениями переменной для каждого участка, подставить их в формулы (7) – (9) и точки найденных значений M соединить прямыми линиями:

– при х ₁ = 0	кН×м;
– при х ₁ = а	кН×м;
– при х ₂ = а	кН×м;
– при х ₂ = (а + b)
– при х ₃ = (а + b)
– при х ₃ = (а + b + c)

Из построения видно (см. ЭQ на рисунке (с. 14)), что в точке приложения внешнего изгибающего момента эпюра внутренних изгибающих моментов делает скачок на величину этого момента (претерпевает разрыв).

В уравнении (10) переменная во второй степени, т.е. на участке со сплошной нагрузкой эпюра М будет представлять собой кривую 2-го порядка – параболу с выпуклостью навстречу направлению нагрузки (навстречу «падающему дождю» – правило зонтика).

Любая парабола эпюры М на участке со сплошной нагрузкой строится не менее, чем по трём точкам.

Если на этом участке наклонная прямая эпюры Q не пересекает нулевую линию, то все точки параболы М лежат в пределах крайних её значений и парабола не имеет вершины. В этом случае парабола моментов строится при значениях переменной x в двух крайних значениях участка
и в середине этого участка.

Если прямая 1-го порядка эпюры Q на участке со сплошной нагрузкой пересекает нулевую линию (как в нашем примере на участке BE рисунка (c. 14)), то парабола эпюры M на этом участке имеет вершину. Для такого случая третьей точкой параболы будет не середина участка, а вершина параболы.

Внутренний изгибающий момент M достигает экстремума в тех сечениях, где поперечная сила Q обращается в нуль. Эти важнейшие следствия вытекают из теоремы Журавского:

(11)

Из этой дифференциальной зависимости вытекает не менее важное следствие: сила Q положительна на тех участках балки, где эпюра M – восходящая линия (при движении слева направо), и отрицательна на тех участках, где эпюра M – нисходящая. Следует также обратить внимание на следующие зависимости, вытекающие из формулы (11). На тех участках балки, где изгибающий момент M изменяется по параболе (кривая 2-го порядка), поперечная сила Q изменяется по линейному закону, т.е. эпюра – наклонная прямая (линия 1-го порядка). Там же, где M изменяется по линейному закону, т.е. эпюра M – наклонная прямая, то поперечная сила Q постоянна, и её эпюра – горизонтальная прямая (линия нулевого порядка).

Вообще порядок функции, описывающей закон изменения Q, на единицу ниже порядка функции, выражающей закон изменения M. Это следует непосредственно из формулы (11). Все эти зависимости являются критериями оценки правильности построения эпюр Q и M.

Построим эпюру M для участка балки BE по трём точкам: двум точкам при крайних значениях переменной х ₄ на этом участке (уравнение (10)):

– при х ₄ = 0 кН×м;

– при кН×м[4]

и третьей точке при значении , равном расстоянию от опоры В до точки пересечения прямой с нулевой линией на ЭQ. Обозначим это расстояние через (см. ЭQ нарисунке (с. 14)).

Из формулы (11) следует, что в этом сечении участка ВЕ парабола эпюры М будет иметь экстремум, т.е. вершину. Найдём координату этого сечения, т.е. определим численное значение х ₀.

Приравняем уравнение (6) к нулю, т.к. эпюра Q в этой точке пересекает нулевую линию, т.е. значение внутренней поперечной силы Q в этом сечении равно нулю:

Отсюда

Значение вершины параболы эпюры M на участке BE (см. формулу (10))

при м

кН×м.

По трём значениям переменной (0; 1,4 м; 2 м) строим параболу на участке ВЕ с вершиной кН×м (см. ЭМ на рисунке (с. 14)). (Для более точного построения параболы М можно рассчитать большее количество точек эпюры, выбирая значения переменной в пределах рассматриваемого участка).

Площади, ограниченные нулевыми линиями (ЭQ и ЭМ) и построенными линиями эпюр, заштриховываются прямыми линиями, перпендикулярными оси балки (можно цветными карандашами). Площади эпюр Q
и M выше нулевых линий обозначают в кружке плюсом ⊕, а ниже нулевых линий – минусом ⊖ (см. рисунок (с. 14)).