Кинематический закон вращательного движения

1)   Из определения углового ускорения находится угловая скорость как функция времени: .       (w ₀ – константа интегрирования).

2) Из определения угловой скорости находится угол как функция времени: .         (j ₀ – константа интегрирования).

Для частного случая , получаем закон равнопеременного движения по окружности: – квадратичная зависимость угла поворота от времени

и линейная зависимость угловой скорости от времени .

При этом одинаковым знакам для угловых скорости и ускорения соответствует ускоренное движение, а разным знакам  – замедленное.

Динамика вращательного движения

Работа при вращательном движении. Момент силы

Элементарная работа на пути ds=Rdj  равна , где момент силы относительно оси вращения z (вращающий момент)

.

В векторном виде:

- векторное произведение.

Кинетическая энергия при вращательном движении. Момент инерции

.

.

I_z - момент инерции твердого тела, относительно оси z.

Моментом инерции материальной точки I_i называется величина:

.

Для N материальных точек

Для сплошного тела и для вычисления момента инерции твердого тела необходимо  брать интегрирал               (учтено, что dm=rd v).

Величина I зависит от положения оси вращения и от распределения масс в теле.

Теорема Штейнера

,

где I₀ - момент инерции относительно оси OО,
I - момент инерции относительно оси O'О'.

Моменты инерции I₀ для некоторых тел (относительно оси, проходящей через центр масс).

Для сплошного тела момент инерции               

1. Обруч массой   m и радиусом R с однородным распределением массы:  

                           r d v = dm

                      

 

2. Полый цилиндр – состоит из одинаковых обручей:

 

3. Сплошной цилиндр. Выделим элемент площади ds = 2p rdr,

     элемент объёма      d v = hds=2p rhdr.  

 

 

4. Тонкий однородный стержень длиной   L.

1) Ось проходит через середину стержня.    

элемент массы   dm = rdx (r – линейная плотность массы). 

2) Ось проходит через конец стержня.    

По теореме Штейнера

5. Шар.  Разобьем шар на плоские цилиндры (блины) шириной dh: объём,

радиус и масса этого элементарного цилиндра

          d v = p r ² dh, r ² = R ² - h ² , .

Момент инерции этого элементарного цилиндра .

Интегрируя по h от 0 до R и удваивая, получим

6. Шаровой слой. Внутренний и наружный радиусы: R ₁ и R ₂.

7. Сферическая оболочка.  

Вычислим, насколько изменится момент инерции шара, если при неизменной плотности ρ его радиус увеличится на бесконечно малую величину dR.