2018-02-13
1033
1) Из определения углового ускорения 
находится угловая скорость как функция времени: 
. (w 0 – константа интегрирования).
2) Из определения угловой скорости 
находится угол как функция времени: 
. (j 0 – константа интегрирования).
Для частного случая 
, получаем закон равнопеременного движения по окружности: 
– квадратичная зависимость угла поворота от времени
и линейная зависимость угловой скорости от времени 
.
При этом одинаковым знакам для угловых скорости и ускорения 
соответствует ускоренное движение, а разным знакам 
– замедленное.
Динамика вращательного движения
Работа при вращательном движении. Момент силы
Элементарная работа на пути ds=Rdj равна 
, где момент силы относительно оси вращения z (вращающий момент)
.
В векторном виде:
- Кинетическая энергия при вращательном движении. Момент инерции
.
.
Iz - момент инерции твердого тела, относительно оси z.
Моментом инерции материальной точки Ii называется величина:
.
Для N материальных точек 
Для сплошного тела 
и для вычисления момента инерции твердого тела необходимо брать интегрирал 
(учтено, что dm=rd v).
Величина I зависит от положения оси вращения и от распределения масс в теле.
Теорема Штейнера
,
где I0 - момент инерции относительно оси OО,
I - момент инерции относительно оси O'О'.
Моменты инерции I0 для некоторых тел (относительно оси, проходящей через центр масс).
Для сплошного тела момент инерции
1. Обруч массой m и радиусом R с однородным распределением массы:
r d v = dm
2. Полый цилиндр – состоит из одинаковых обручей: 
3. Сплошной цилиндр. Выделим элемент площади ds = 2p rdr,
элемент объёма d v = hds=2p rhdr.
4. Тонкий однородный стержень длиной L.
1) Ось проходит через середину стержня.
элемент массы dm = rdx (r – линейная плотность массы).
2) Ось проходит через конец стержня.
По теореме Штейнера 
5. 
Шар. Разобьем шар на плоские цилиндры (блины) шириной dh: объём,
радиус и масса этого элементарного цилиндра
d v = p r 2 dh, r 2 = R 2 - h 2 , 
.
Момент инерции этого элементарного цилиндра 
.
Интегрируя по h от 0 до R и удваивая, получим
6. Шаровой слой. Внутренний и наружный радиусы: R 1 и R 2.
7. Сферическая оболочка.
Вычислим, насколько изменится момент инерции шара, если при неизменной плотности ρ его радиус увеличится на бесконечно малую величину dR.
