Оптимальные системы автоматического управления
методическое пособие
для лабораторных работ
ЧЕБОКСАРЫ 2011
Рецензенты:
оптимальные системы автоматического управления: Методическое пособие для лабораторных работ/ Т.А. Изосимова, О. Н. Зайцев – Чебоксары: ЧПИ МГОУ, 2011. – с.
© Т.А. Изосимова, О. Н. Зайцев 2011
© Чебоксарский политехнический институт (филиал) МГОУ
Содержание
Введение
Лабораторная работа № 1. «Метод дихотомии»
Лабораторная работа № 2. «Метод «золотого сечения»
Лабораторная работа № 3. «Метод Зейделя- Гаусса»
Лабораторная работа № 4. «Синтез системы объекта второго порядка»
Лабораторная работа № 5. «Сравнительный анализ системы с ПИД-регулятором»
Приложение 1. «Варианты заданий №1»
Приложение 2. «Варианты заданий №2»
Приложение 3. «Варианты заданий №3»
Введение
Выбор структуры и параметров САУ определяет ее динамические свойства. Устойчивость системы является, как правило, необходимым, но далеко недостаточным условием для того, чтобы система выполняла свое назначение. Возникает задача обеспечения не только устойчивости, но и надлежащего качества САУ, а так же наилучшего (оптимального) режима функционирования. Такая задача может быть названа задачей оптимизации.
Постановка задачи на оптимизацию и ее решение включает в себя ряд этапов:
· выбор и обоснование цели оптимизации;
· согласование цели с имеющимися возможностями, т.е. учет ограничений;
· реализация способа достижения цели (экспериментального значения критерия качества) при учете ограничений.
Объекты оптимизации можно классифицировать по ряду признаков. К таким признакам относятся:
· число оптимизируемых параметров объекта;
· число экстремумов характеристики объекта, используемой как показатель качества;
· объем априорной информации об объекте;
· способ математического описания объекта.
Поиск экстремума функции включает в себя задачи нахождения локального и глобального экстремума. С помощью встроенных функций решается только задача поиска локального экстремума. Чтобы найти глобальный максимум (или минимум), требуется сначала вычислить все локальные значения и потом выбрать наибольший (наименьший), либо предварительно просканировать с некоторым шагом рассматриваемую область, чтобы выделить из нее наибольшие (наименьшие) значения функции и осуществить поиск глобального экстремума, уже находясь в его окрестности.
Для поиска локальных экстремумов имеются две функции, которые могут применяться как в пределах вычислительного блока, так и автономно.
Minimaze (f',х1...,хм) — вектор значений аргументов, при которых функция достигает минимума;
Maximaze (f',х1...,хм) — вектор значений аргументов, при которых функция достигает максимума;
где:
f(x1,..., хм) — функция;
x1,..., хм — аргументы, по которым производится минимизация (максимизация).
Для выполнения поставленной нами задачи используем программный пакет Maple, который является продуктом компании Waterloo Maple Inc. (www.maplesoft.com).
Maple — среда для проведения математических преобразований широкого спектра и создания технической документации. Имеет собственный язык программирования, напоминающий Паскаль. Интерфейс программы позволяет решать множество задач — от элементарных проектных расчётов и алгоритмов до разработки сложных моделей, логического моделирования и обучения математике.
Программный пакет Maple может работать под управлением Windows® XP (и выше), на персональном компьютере с процессором Intel® Pentium III 650 МГц (и выше), при объеме оперативной памяти от 128 Мб (и выше).
Ключевые возможности Maple:
· Масштабируемый интерфейс.
· Мощный математический процессор.
· Возможность генерации кода.
· Аннотирование документов с помощью математических формул и ссылок.
· Логическое моделирование и проверка гипотез.
· Средства для пошаговой подготовки технической документации.
· Оценка взаимодействия объектов, определение математического соотношения.
· Перекрёстные ссылки в документах для быстрого доступа к вычислениям.
· Набор инструментов для динамического моделирования Dynamic Systems.
· Возможность использования языка программирования Maple для создания специализированных средств оптимизации и реконфигурации деталей.
Возможности для построения графиков в Maple:
· подстановка математических обозначений в заголовке
· создание меток и легенд
· поддержка международных обозначений
аннотирование графиков (чертёжные инструменты, дополнение текстом и формулами, рисование геометрических форм, стрелок и линий).
Для выполнения поставленной нами задачи так же используем программный комплекс для моделирования динамических систем «20-sim Pro 2.3», разработанный в TWENTE UNIVERSITY of TECHNOLOGY, Enschede, The Netherlands (www.20 -sim.com).
Программный комплекс работает под управлением операционной системы Windows–9х, на компьютерах с процессором i486DX-4 и выше при объеме оперативной памяти не менее 16 Мб. Саморазархивирующийся файл «20sim» имеет объем 7,87 Мб и после запуска сам устанавливает программный комплекс на ПЭВМ. После завершения установки программный комплекс размещается в папке «20-sim» на выбранном пользователем диске. Одновременно в меню рабочего стола (Пуск ® Программы ® 20-sim 2.3) помещаются команды доступа к основным файлам программы, предназначенных для:
- помощи (20-sim Help)
- руководство пользователя (20-sim Manual),
- демонстрации работы программы (20-sim Pro 2.3 demo),
- работы (20-sim Pro 2.3),
- демонстрации примеров моделей (Demo Models),
- обучения пользователей (Tutorial).
Файл Tutorial, предназначенный для обучения работе с программным комплексом автоматически запускает видеоплейер и позволяет просмотреть видеоролики, объясняющие приемы задания структурных схем, ввода значений, исправлений, получение результатов для трех приведенных выше видов представлений моделируемой системы (структуры типовых блоков из библиотеки программного комплекса; структуры, задаваемой в виде сигнального графа; математических выражений). Технологию использования «20-sim» для структурного моделирования динамических систем с помощью типовых блоков показывает файл Demoblk.
Программный комплекс для моделирования динамических систем «20-sim» состоит из двух связанных между собой программ:
1. Графического редактора (Graf Editor),
2. Моделирующей системы (Simulator).
Этапы моделирования объединены в две стадии в соответствии с используемой программой: составление модели и подготовка и проведение эксперимента.
При описании моделируемой системы в цикле лабораторных работ по курсу «Системы автоматизации и управления» используется представление моделируемой системы в виде структуры типовых блоков из библиотек программного комплекса для моделирования динамических систем «20-sim».
Представление моделируемой системы в виде блоков требует некоторого навыка. Наиболее просто задача решается, если математическое описание объекта, регулятора и преобразователей задается в виде передаточных функций. Структурная схема системы для моделирования на ПЭВМ получается с помощью последовательного, параллельного или встречно-параллельного соединения блоков, входящих в библиотеку пакета.
В библиотеки «20-sim» входят различные блоки: статические и динамические звенья, нелинейные, логические и дискретные блоки, источники сигналов, типовые регуляторы и критерии, блоки математических функций и др.
Лабораторная работа №1
"Метод «дихотомии»"
Цель лабораторного занятия
Исследование 2-х уравнений методом дихотомии с использования программного пакета Maple.
Задание на работу
1. Исследовать первое уравнение методом дихотомии с помощью программного пакета Maple, вывести график.
2. Исследовать второе уравнение методом дихотомии с помощью программного пакета Maple, вывести график.
Описание метода:
- Выбирается интервал [ x1, x2 ], на котором функция f (x) пересекает ось абсцисс один раз (см. рис.1).
- Отрезок [ x1, x2 ] делится пополам:
(1)
- Вычисляется величина f (x3) и полагается:
– x2 = x3 при f ’ (x2) f ’ (x3) < 0
– x2 = x3 при f ’ (xx) f ’ (x3) < 0
– при f ’ (x3) = 0 выполняется п.6
- По формуле | x2 – x1 | < ε1 проверяется условие достижения заданной точности вычислений.
- При несправедливости критерия остановки переходят к п2.
- Процесс вычислений прекращается при достижении заданной точности вычислений, и последнее значение x3 принимается в качестве искомого результата x0, т.е. x0 = x3.
Рис.1
Выполнение работы
1. На основании алгоритма, описанного выше, составим структурную блок-схему:
да
нет
да
нет
да
нет
Рис. 2
2. Запишем программу в Maple, подставив значения своего варианта (см. Приложение №1).
restart:
> plot (0.6*x^4+2.5*x^2-3*x+6, x=-3..3);
> a:=0:
> b:=2:
> c:=0.05*(b-a):
> for i from 1 to 100
> while (b-a)>=2*c do
> x1:=(a+b-c)/2;
> x2:=(a+b+c)/2;
> y1:=0.6*x1^4+2.5*x1^2-3*x1+6;
> y2:=0.6*x2^4+2.5*x2^2-3*x2+6;
> if (y1<y2) then b:=x2;
> elif (y1>y2) then a:=x1;
> else
> a:=x1;
> b:=x2;
> fi;
> od:
> x:=(a+b)/2;
> y:=0.6*x^4+2.5*x^2-3*x+6;
> N:=i;
3. Результат (промежуточный и конечный): корни и число итераций:
Конечный результат:
Промежуточные итерации:
x1:=.9500000000
x2:= 1.050000000
y1:= 5.894953750
y2:= 6.335553750
x1:=.4750000000
x2:=.5750000000
y1:= 5.169606484
y2:= 5.167150234
x1:=.7125000000
x2:=.8125000000
y1:= 5.286269546
y2:= 5.474374390
x1:=.5937500000
x2:=.6937500000
y1:= 5.174667931
y2:= 5.260956153
x1:=.5343750000
x2:=.6343750000
y1:= 5.159692159
y2:= 5.200124837
x:=.5546875000
y:= 5.161932590
N:= 6
4. Отчет о проделанной работе должен содержать:
· Задание на работу
· Ход выполнения работы
· Полученные результаты работы.
· Выводы о проделанной работе
Лабораторная работа №2
"Метод «золотого сечения» и «простой итерации»"