Проверка гипотез в однофакторном ДА

В ДА основной интерес представляет не столько сами оценки, сколько их сравнение и, в первую очередь, проверка гипотезы Н ₀: а ₁= а ₂=…= а_р= 0, означающей одинаковость, неразличимость, воздействий всех р уровней. Со статистической точки зрения задачу ДА можно сформулировать так: для каждой из р генеральных совокупностей получено по выборке объемом N_i и необходимо сопоставить р значений выборочных средних.

ДА базируется на разложении общей суммы квадратов S ₀ отклонений наблюдений  от общего среднего  на составляющие, связанные с рассеянием между уровнями S _му и рассеянием внутри отдельных уровней S _ву:

, S _му= , S _ву= .

Подобное разложение получается следующим образом. Обе части тождества

возводят в квадрат и суммируют по i и j:

      (5.4)

Последнее слагаемое в правой части формулы (5.4) обращается в нуль в силу выполнения следующей очевидной цепочки равенств:

.

Соотношение (5.4) приобретает вид S ₀= S _му+ S _ву. Суммы S ₀ ,S_му ,S_ву  имеют N- 1, p -1, N - p степеней свободы соответственно. Если имеет место проверяемая гипотеза Н ₀, то каждое из отношений:

может служить оценкой дисперсии s² случайных возмущений. В силу нормальности возмущений отношение  имеет F -распределение. Полученные значения представляют в виде табл.12.

Таблица 12

Источник изменчивости	Сумма квадратов	ЧСС	Среднее	F- отношение
Между уровнями	S му	p -1		Fр =
Внутри уровней	S ву	N-p
	S 0	N -1

Гипотеза Н ₀: а ₁= а ₂=…= а_р= 0 отвергается при выбранном уровне надежности (обычно, 95%), если F _р >F _Т, где F _Т – табличное значение F -распределения при ЧСС числителя и знаменателя p -1 и
N-p соответственно. При F _р £F _Т делается вывод, что результаты наблюдений не противоречат гипотезе Н ₀.

1. Основные этапы факторного анализа.