Однофакторный дисперсионный анализ

Разложение суммы квадратов в однофакторном ДА.

В п.4.2 рассматривался вопрос включения в регрессию качественных переменных. В случае, когда регрессорами являются только качественные переменные, общепринятым методом исследования выступает дисперсионный анализ (ДА).

В зависимости от числа регрессоров, называемых в ДА факторами, говорят об одно-, двух-, многофакторном ДА. Сами факторы полагаются неслучайными (модель с постоянными эффектами) либо случайными (модель со случайными эффектами). В модели с постоянными эффектами речь идет в основном о сравнении средних значений количественной переменной при различных значенииях факторов, тогда как в моделях со случайными эффектами интересует доля изменчивости, вносимая отдельными факторами. Ниже рассматривается первая модель, для которой ДА часто называют одно-, двух-, многофакторной классификацией.

Однофакторный дисперсионный анализ

Имеется количественная переменная у, определяемая качественной переменной, иначе фактором, принимающим р дискретных значений (уровней). Так, фактором может быть «поставщик», уровнями – определенные фирмы-поставщики, переменной у – срок службы поставляемого товара. В качестве исходных данных выступает выборка, содержащая ряд наблюдений на каждом из уровней (по нескольку экземпляров определенного товара от каждого поставщика). Необходимо ответить на вопрос – различаются ли по сроку службы объекты от разных поставщиков.

Модель однофакторного анализа:          ,          (5.1)

где  – наблюденные значения, N_i – объем выборки для i -го уровня фактора. Параметр m обозначает некоторую точку отсчета, a_i – эффект (вклад) i -го уровня фактора, u_ij – независимые, нормально распределенные случайные возмущения, удовлетворяющие предпосылке 5 классической регрессии. 

Модель (5.1) не позволяет однозначно оценить параметры, поскольку можно добавить к m и вычесть из a_i произвольную константу. Неоднозначность снимается условием репараметризации   N ₁ a ₁+ N ₂ a ₂+…+ N_pa_p= 0. (5.2)

Оценивание параметров производится по методу наименьших квадратов (МНК). Для минимизации остаточной суммы квадратов  найдем первые производные:

;

.

Обозначим . Из выражений для производных с учетом (5.2) получаем:

. (5.3)

(Точка на месте индекса означает усреднение по этому индексу.)

Результаты измерений принято представлять в виде табл.11.

Таблица 11

Уровни фактора	Наблюдения			Сумма внутри уровня	Среднее по уровню
1					1×
р					p.

1. Модель и основная теорема факторного анализа