Сила суммарного давления жидкости на плоские поверхности

Сила суммарного давления жидкости F на плоскую стенку равна произведению смоченной площади стенки ω  гидростатического давления в центре тяжести этой площади P_с, т. е.:

 

F = P _с ω                              (1.8)

 

или

                                                   

F = ρ g h_с ω                                               (1.9)

 

где h _с — глубина погружения центра тяжести смоченной площади стенки.

Центр давления (точка приложения равнодействующей сил давления) для негоризонтальных стенок лежит ниже центра тяжести стенки. Его положение определяется формулой

                                                ,                                      (1.10)

где J_c — момент инерции смоченной площади стенки относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести этой площади;    l_c и l_d — соответственно расстояния центра тяжести стенки и центра давления от линии пересечения плоскости стенки со свободной поверхностью.

Формулы для определения центра тяжести и моментов  инерции плоских фигур относительно оси, проходящей через центр тяжести, приведены в приложении 9.

Сила суммарного давления жидкости на цилиндрические поверхности.

 

Сила суммарного давления жидкости F на цилиндрическую поверхность может быть выражена геометрической суммой ее составляющих: горизонтальной Р_г и вертикальной F_в, т. е.

                                                        

 ,                                                  (1.11)

 

Горизонтальная составляющая силы суммарного давления жидкости  на цилиндрическую стенку равна силе суммарного давления жидкости на вертикальную проекцию ω_в   этой стенки:

                                                      

Р_г  = ρ g h_с ω_в = p_с ω_в,                                                                      (1.12)

 

Вертикальная составляющая равна весу жидкости в объеме тела давления:

                                                         

F_в = ρ g W,                                                           (1.13)

 

Телом давления называется объем жидкости, ограниченный данной криволинейной поверхностью, вертикальной плоскостью, проведенной через нижнюю образующую криволинейной поверхности, и свободной поверхностью жидкости. Если объем находится с несмачиваемой стороны стенки, вес тела давления нужно считать отрицательным (направленным вверх).

Направление силы суммарного давления F определяется углом β, образуемым вектором F и горизонтальной плоскостью:

                                                     

tg β = Р_в / Р_г,                                                                                         (1.14)

 

Закон Архимеда и его приложение

Тело, погруженное (полностью или частично) в жидкость, испытывает со стороны жидкости суммарное давление, направленное снизу вверх и равное весу жидкости в объеме погруженной части тела (закон Архимеда). Это давление называется силой вытеснения или подъемной силой

                                                    

F_выт = ρ g W_погр,                                                      (1.15)

 

где ρ — плотность жидкости.

Для однородного тела, плавающего на поверхности жидкости, справедливо соотношение

                                                  

                                                                  (1.16)

 

где W— объем плавающего тела; ρ  — плотность тела.

В приложении 2 приведены значения плотности твердых тел.

В плавающем на поверхности жидкости теле, кроме центра тяжести С, различают еще два центра: центр водоизмещения В — центр тяжести объема погруженной части тела; метацентр М — точка пересечения оси плавания тела с линией действия подъемной силы (при наличии крена).

Остойчивостью плавающего тела называется способность восстанавливать положение равновесия после прекращения действия внешней силы, вызвавшей крен. Для остойчивости тела необходимо соблюдение условия

                                              

h_{M >0}                                                                                                    (1.17)

 

где h_М — метацентрическая высота — расстояние между метацентром и центром тяжести:                                                             

  ,                                                   (1.18)

 

где J — момент инерции плоскости плавания относительно продольной оси; а — расстояние от центра тяжести до центра водоизмещения.

Примеры

Пример 1.1. Определить избыточное давление в забое скважины глубиной h=85 м, которая заполнена глинистым раствором плотностью р=1250 кг/м³.

Решение. Величину избыточного давления находим по формуле (1.4):

 

 

Пример1.3. В канале, подводящим воду к очистным сооружениям, установлен пневматический уровнемер с самопишущим прибором.

Нижний конец трубки l погружён в воду на глубину H₂ ниже самого низкого уровня воды в канале. В верхний конец трубки l по трубке 2 подаётся небольшой объём воздуха под давлением, достаточным для выхода воздуха в воду через нижний конец трубки 1. Определить глубину воды в канале Н, если давление воздуха в трубке 1 по показаниям самопишущего прибора 3  равно h^` =80мм рт.ст. и h^`` =29мм рт.ст.. Расстояние от дна канала до нижнего конца трубки Н₁ = 0.3 м.

Решение. Избыточное давление воздуха в трубке

 

P₁ = р_рт gh,

                                                        

где h ­ показания самопишущего прибора (перепад уровней ртути в приборе.

В то же время избыточное давление воды на уровне нижнего конца трубки

                                          

P₂  = ρ_в g Н_2.

 

Глубину Н определяем из условия равенства давлений P₁ = P₂:

                                          

ρ_рт  g h = ρ_в g Н_2.

 

Следовательно,

 

                                           .

 

При h`=80 мм. рт. ст.

 

                              ,

 

Высота наполнения воды в канале

 

                        

 

При h``=29 мм. рт. ст.

 

                            

 

 

                             

Пример 1.3. Нижняя часть рабочей камеры кессона находится на глубине h=30 м от свободной поверхности воды. Определить избыточное давление воздуха, которое необходимо создать в рабочей камере кессона, чтобы вода из реки не могла проникнуть в камеру.

Решение. Избыточное давление воздуха в рабочей камере кессона должно быть не менее гидростатического давления на заданной глубине, т.е. (см. формулу 1.4)

 

      

 

Абсолютное давление в рабочей камере кессона по формуле (1.3)

 

              

 

Пример 1.4. Определить действующее давление в кольце системы отопления, если в котле А вода нагревается до температуры 95⁰ С. Расстояние между центрами котла и нагревательного прибора h₂ = 12 м

Решение. Разделим мысленно по сечению а – а (центру котла) кольцо системы.

Гидростатическое давление в сечении а – а от столба воды в левой ветви кольца

 

,

 

А от столба воды в правой ветви кольца

 

,

 

где ρ₂ – плотность воды при температуре 95⁰ С, а ρ₁ – то же, при температуре 70⁰ С.

Действующее давление в кольце

 

 

Поскольку h₁=h₂+h₃, получим

 

,

 

Или

 

.

 

Принимаем ρ₁=978 кг/м³ и ρ₂=962 кг/м³. Действующее давление

 

Па.

 

Пример 1.6. Определить тягу ∆p (разность давлений) в топке котла и перед топочной дверкой, если высота котла и дымовой трубы Н = 15м. Дымовые газы имеют температуру t_г = 250­⁰С. Температура наружного воздуха t=15⁰С.

Решение. Давление в топке

 

,

 

Где р_атм – атмосферное давление на уровне 1-1;

р_рт – давление, создаваемое столбом воздуха высотой Н.

Давления

 

 

Где ρ_г – плотность газа при температуре 250⁰С; р_возд – плотность воздуха при температуре 15⁰С.

Разность давлений в топке котла и перед топочной дверкой равна:

 

 

Или

 

 

Принимаем: ρ_г­= 0.58 кг/м³ и ρ_возд= 1.23 кг/м³. Тогда получим:

 

                                           ∆Р=9.81*15(1.23-0.58)=95.6 Па.

 

Вычислим разность напоров ∆h:

 

                                                        ∆P = ρ g ∆h;

 

 

 м. вод. cт.

 

Пример1.6.В ентиляция уличной и внутренней канализационных сетей осуществляется вследствие разности веса теплого газа в сети и веса атмосферного воздуха. Газ вытесняется через стояки 1,заканчивающиесянад крышами зданий, а воздух притекает через зазоры между крышками 2 и люками колодцев.Определить разность давлений в канализационной сети девятиэтажного дома и в окружающем пространстве на уровне поверхности земли, если температура газов в сети 10⁰С, а температура воздуха – 20⁰С.

Решение. Высота стояка определяется по формуле

 

Н = 3 n + 4 = 3*9 +4 = 31 м,

Где n – число этажей;

  3 – высота этажа, м;

  4 – высота стояка в пределах чердака и над крышей, м;

При температуре 10⁰С ρ₁=1.21 кг/м³ ; при температуре -20⁰С ρ₂=1.36 кг/м³.

Разность давлений

 

∆Р = gH(ρ₂ – ρ₁)= 9.81*31(1.36 – 1.21) = 45.6 Па

Разность напоров

 

м. вод. ст.

 

Пример 1.7. Котёл системы водяного отопления имеет лаз для осмотра D=0.8 м. Лаз закрыт плоской крышкой, прикрепленной 10 болтами. Определить диаметр болтов, если уровень воды в расширительном сосуде находится на высоте Н = 30 м, а центр тяжести крышки – на высоте h = 2м от осевой линии котла. Температура воды 20⁰С.

Решение. Определяем силу давления воды на крышку лаза по формуле (1.9)

 

 

Находим необходимый диаметр болтов, принимая для них допускаемое напряжение на разрыв[σ] = 140 МПа:

 

 м.