2018-02-14
415
Задачи, связанные с определением сил давления на поверхности погруженных в жидкость тел, играют важную роль в практике (прочность гидротехнических сооружений, крепежных соединений различных резервуаров, находящихся под давлением).
Найдем выражение для силы избыточного давления жидкости на поверхность ограничивающей стенки. Сила, действующая на элементарную площадку dS (рис. 1.6), равна
,
где 
– гидростатическое давление в центре площадки, 
– внешняя нормаль к ней. На всю площадь действует сила
. (1.21)
В частности, по осям
, (1.22)
, (1.23)
где 
– вертикальная и 
– горизонтальная проекции dS.
Рассмотрим горизонтальную составляющую. Как известно, интеграл в (1.22) есть статический момент площади, равный произведению 
, где 
– координата центра тяжести вертикальной проекции. Следовательно,
. (1.24)
|
|
|
т. е. горизонтальная составляющая силы равна произведению вертикальной проекции стенки на гидростатическое давление в центре тяжести этой проекции.
Перейдем к расчету вертикальной составляющей. Для этого используем последнее равенство в (1.21), где учтем, что при равновесии в вертикальном поле силы тяжести 
0, 
(рис. 1.6) и, значит,
. (1.25)
Таким образом, вертикальная составляющая равна весу жидкости, заключенному в объеме тела давления 
. Тело давления – это объем жидкости, ограниченный данной криволинейной стенкой, вертикальной плоскостью, проведенной через нижнюю образующую стенки, и свободной поверхностью жидкости (рис. 1.7). Если объем находится с несмачиваемой стороны стенки, вес тела давления считается отрицательным (направленным вверх).
В частности, если тело погружено в жидкость (полностью или частично), то на него будет действовать выталкивающая гидростатическая сила – сила Архимеда, равная по величине весу жидкости, вытесненной погруженной частью тела.
Если ограничивающая стенка плоская, то сила давления на плоскую поверхность будет направлена по нормали к стенке и равна произведению площади поверхности на гидростатическое давление в центре тяжести этой поверхности:
, или 
, (1.26)
где – глубина погружения центра тяжести смоченной площади стенки.
Рис. 1.7. К расчету объема тела давления
Пример 1.5. Определить силу суммарного давления воды на плоский щит, перекрывающий канал, и усилие, необходимое для подъема щита. Ширина канала 
1.8 м, глубина воды в канале 
2.2 м. Масса щита 
1500 кг, коэффициент трения щита по опорам 
0.25 (рис. 1.8).
|
|
|
Рис. 1.8. К примеру 1.5
Решение. Силу суммарного давления на щит определяем по формуле (1.26), где учтем, что 
, 
: 
= 
42.7 кН. Усилие, необходимое для подъема щита, 
25.4 кН.
2. Уравнения гидродинамики
и их интегрирование
Теоретической основой аэрогидромеханики являются уравнения движения жидкости, рассматриваемые в рамках той или иной ее физической модели. Для решения задач механики жидкости и газа применяются точные и приближенные математические методы интегрирования дифференциальных уравнений. Для получения характеристик явлений используют общие теоремы и законы механики: теоремы количества и момента количества движения, законы сохранения массы и энергии и другие. Значительная сложность изучаемых явлений побуждает исследователей широко использовать эксперимент, обобщение результатов которого приводит к эмпирическим закономерностям, а иногда и к полуэмпирическим теориям.
2.1. Кинематика потоков жидкости.
Уравнение сохранения массы
Основные понятия кинематики жидкости
Кинематика изучает движение жидкости, не интересуясь причинами, которые его вызвали.
Существует два подхода для описания движения.
В подходе Лагранжа рассматривается движение каждой отдельной жидкой частицы. Движение считается определенным, если в каждый момент времени для каждой частицы известны уравнения, описывающие ее путь во времени.
В подходе Эйлера изучается изменение параметров потока в фиксированных точках пространства. В настоящем курсе используется подход Эйлера.
Установившимся (стационарным) называют движение, при котором параметры потока (скорость, давление, плотность) в данной точке пространства не изменяются с течением времени, т.е.
. (2.1)
В противном случае движение жидкости называется неустановившимся (нестационарным):
. (2.2)
Линией тока называется кривая, обладающая тем свойством, что в данный момент времени векторы скоростей в любой ее точке совпадают по направлению с касательными:
, или 
. (2.3)
Под траекторией понимается след, оставленный движущейся частицей в пространстве. Дифференциальные уравнения траектории суть
. (2.4)
Из сопоставления (2.3) и (2.4) следует, что при неустановившемся движении линии тока и траектории не совпадают.
В движущейся жидкости наметим бесконечно малый замкнутый контур и через все точки его периметра проведем линии тока (рис. 2.1).
Образованная таким образом поверхность носит название трубки тока.
Л. Эйлером, одним из основателей аэрогидромеханики, была введена в рассмотрение струйная модель потока. Основу этой модели составляет понятие о струйке, под которой понимают жидкость, протекающую внутри трубки тока. Очевидно (по построению), что струйка ведет себя как трубка с непроницаемыми стенками. Поперечное сечение струйки мало, поэтому можно допустить, что в пределах сечения все частицы движутся с одинаковыми скоростями либо, что то же, эпюра скоростей в сечении представляет собой цилиндр для трехмер 
ной струйки или прямоугольник – для плоской (двумерной).
На рис. 2.2 показаны эпюры скорости для двух произвольно выбранных сечений плоской струйки. Совокупность струек, заполняющих поперечное сечение канала конечных размеров, образует поток.
При рассмотрении потока поперечные сечения часто выбирают так, чтобы пересекающие их линии тока были нормальны к ним. В этом случае сечение потока называется живым сечением. Если линии тока параллельны, то живое сечение –
плоское.
|
|
|
