Тогда закон распределения скоростей имеет вид

                                 (6.34)

Элементарный расход q (b = 1) определяется по средней скорости

                                          (6.35)

В случае, когда перемещение стенки происходит при наличии пере­пада давления в жидкости, находящейся в зазоре, то закон распределе­ния скоростей в нем находится как сумма скоростей от каждого дейс­твующего фактора, т.е. как сумма выражений (6.31) и (6.34):

Знаки ± в данном выражении обусловлены тем, что возможны два варианта:

а) направление движения стенки совпадает с направлением течения жидкости под действием перепада давления (рис.6.10, а);

б) направление движения стенки противоположно течению жидкости (рис.6.10, б).

Рис.6.10. Эпюры скоростей в зазоре с движущейся

стенкой при действии перепада давления

Элементарный расход (b = 1) определяется по формуле

Первое слагаемое называется расходом напорного течения, а второе - фрикционным расходом.

Приведенные формулы могут быть использованы и в том случае, когда зазор образован двумя цилиндрическими поверхностями, например, поршнем и цилиндром, при условии малости зазора по сравнению с диаметрами цилиндрических поверхностей и при соосности сопрягаемых деталей (рис.6.11, а).

 

 

Рис.6.11. Схемы кольцевых зазоров

 

Если поршень расположен в цилиндре с эксцентриситетом е, то за­зор а будет переменной величиной (рис.6.11,б):

где

Взяв элемент зазора шириной rdφ как плоскую щель, получим следующее выражение элементарного расхода

Интегрируя по окружности, получим полный расход, который на практике интерпретируется как объем утечек через данное сопряжение:



где  - расход при соосном расположении поршня в цилиндре (рис.6.11, а).

Из этого выражения следует, что при максимальном эксцентриситете (е = а _о) расход Q = 2,5Q_о.

 

ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЕ

 

Турбулентный режим течения жидкости является наиболее часто встречающимся в природе и технике, но в то же время представляет со­бой одно из сложнейших гидравлических явлений.

Несмотря на многочисленные исследования в этой области, строгая теория турбулентного режима движения до настоящего времени еще не создана.

Как отмечалось выше нет и общих решений уравнений Навье-Стокса. Как следствие этого, при решении практических задач, наряду с применением отдельных полуэмпирических теорий и положений, широко используют экспериментальные данные и эмпирические формулы.

Основной особенностью турбулентного режима движения является интенсивное перемешивание частиц жидкости.

При Re > Re_кp нарушается устойчивость ламинарного движения частиц, когда в потоке помимо основных, продольных составляющих скоростей частиц, возникают поперечные составляющие. Частицы жидкости начинают переходить из одной струйки в другую, вызывая тем самым перемешивание частиц жидкости и образование завихрений в потоке, т.е. движение становится турбулентным.

Дальнейшее увеличение числа Рейнольдса приводит к резкому возрастанию поперечных составляющих скоростей и перемещений частиц, что влечет за собой большую турбулизацию потока.

При ламинарном режиме движения касательные напряжения, зависящие только от вязкости жидкости, на оси потока равны нулю (рис.6.5). Поэтому именно здесь, в первую очередь, наступает потеря устойчивости ламинарного движения. Турбулизация потока способствует и большая шероховатость стенок трубопроводов.

В результате поперечных перемещений и интенсивного перемешивания каждая частица жидкости в любой точке турбулентного потока в данный момент времени имеет свою по значению и направлению мгновенную местную скорость. Однако, как показывают измерения, значения местных скоростей колеблются около некоторых осредненных значений. Такое колебание местной скорости во времени называется пульсацией скорости (рис.6.12). То же происходит и с давлением.

 

Рис. 6.12. Пульсации скорости в потоке

при турбулентном режиме течения

 

Рейнольдс предложил рассматривать мгновенные значения параметров турбулентного движения в виде суммы осредненных по времени значений и пульсационных добавок к ним. Тогда мгновенные значения скорости, давления и касательных напряжений запишутся в виде

Все параметры с чертой наверху представляют собой осредненные по времени их значения

где Т - интервал времени осреднения.

Исходя из этого понятно, что значения осредненных по времени пульсационных добавок скорости и напряжений равны нулю

При рассмотрении турбулентного движения принимается, что интервал времени осреднения Т достаточно велик, вследствие чего осредненное значение пульсирующей составляющей не изменяется, если выполнить повторное осреднение.

Местные осредненные скорости могут не зависеть от времени (рис.6.12, а) или зависеть от времени (рис.6.12, б). В первом случае говорят об установившемся, а во втором - неустановившемся осредненном турбулентном движении.

Для оценки пульсационных добавок вводится стандарт, равный среднеквадратичному отклонению пульсационных составляющих:

Степенью (интенсивностью) турбулентности ε называют отношение среднеквадратичного отклонения пульсационной составляющих (добавки) скорости к характерной скорости потока (к осредненной местной скорости в данной точке, к средней по вертикали, к средней по живому сечению, к максимальной скорости и т.п.).

Здесь обратим внимание на необходимость четко различать осредненную (по времени в данной точке) и среднюю в данном живом сечении скорость V_cp = Q/S (Q - расход, S - площадь живого сечения).

Турбулентность характеризуется также частотой пульсаций. Опыты показывают, что при турбулентном режиме движения наблюдаются довольно широкие спектры частот, но в большинстве процессов, происходящих при турбулентном напорном (в трубах) и безнапорном (в каналах и реках) движении, определяющими являются низкочастотные пульсации.

Основные закономерности турбулентного режима движения и расчетные зависимости описываются в гидродинамике с помощью полуэмпирической теории Прандтля-Кармана, созданной на основе схематической модели турбулентного потока.

По Прандтлю турбулентный поток состоит из двух областей: лами­нарного подслоя и турбулентного ядра. По данным более поздних исследований Г.А.Гуржиенко, проведенных им в ЦАГИ, существует еще одна область - переходный слой. Совокупность ламинарного подслоя и переходного слоя называют в гидродинамике пограничным (вязкостным) слоем (рис.6.13).

 

Рис.6.13. Структура потока и эпюра скоростей

при турбулентном режиме движения:

1 - ламинарный подслой; 2 - переходный слой;

3 - турбулентное ядро

 

Ламинарный подслой, расположенный непосредственно у стенок трубы, имеет весьма малую толщину δ, которая для развитого турбулентного потока может быть найдена по полуэмпирической формуле

,

где ν - кинематическая вязкость; d - диаметр трубы; V_cp - средняя по живому сечению скорость потока; λ - коэффициент Дарси.

Полуэмпирическая теория Прандтля основана на представлении о том, что при турбулентном перемешивании количество движения массы, переносимой в потоке за счет поперечной пульсационной составляющей скорости, остается неизменным на некотором пути, а затем изменяется скачком.

Длина этого пути - так называемая длина пути перемешивания l. Предполагается, что это расстояние частица жидкости проходит, не взаимодействуя с другими частицами и сохраняет постоянным свое среднее количество движения. Длина пути перемешивания имеет аналог в виде длины свободного пробега молекул. Однако, средняя длина пробега молекул мала по сравнению с размерами потока, а размеры турбулентных вихрей могут быть сопоставимы с размерами сечения потока.

Л. Прандтль предположил, что для полубезграничного потока вдоль стенки справедлива линейная зависимость длины пути перемешивания l от расстояния z от стенки, т.е. I = χ z, где χ - универсальная постоянная. С достаточной степенью точности эта гипотеза была подтверждена опытным путем для потока вблизи плоской стенки, однако, оказалась неприменимой для течения в плоском канале и круглой трубе.

Для последних случаев предложены эмпирические зависимости.

Для установления причины повышения сопротивления движению при турбулентном режиме течения рассмотрим схему турбулентного установившегося потока, изображенного на рис.6.14.

 

Рис. 6.14. Схема распределения скоростей в турбулентном потоке

 

Ось ОХ направлена вдоль осредненного движения потока. Через площадку DS, нормальную к оси OZ, переносится жидкость со скоростью . Масса перенесенной за время Dt жидкости составит по гипотезе Прандтля

Если до пересечения площадки продольная скорость этой массы жидкости равна , а количество движения , то согласно гипотезе Прандтля значения этих величин остаются постоянными на пути перемещения 1, а затем изменяются.

На расстоянии 1 от рассматриваемой площадки осредненная скорость потока станет равна

,

а количество движения массы будет

Изменение количества движения обусловлено действием некоторой продольной силы DR_турб:

.

Отсюда

Эту силу называют силой турбулентного трения.

Модуль касательного напряжения составит

Для двухмерных равномерных потоков (рис. 6.14)

В этом случае .

Допуская, что , предыдущее выражение можно представить в виде

Таким образом, теория Прандтля объясняет происхождение турбу­лентных касательных напряжений обменом количества движения при перемешивании масс жидкости.

Далее Прандтль предположил, что величины  и  одного по­рядка. Тогда можно записать

                            (6.36)

Общее касательное напряжение при турбулентном режиме движения представляет собой сумму вязкостных напряжений t_лам  и t_турб  

.                                (6.37)

Знак плюс в первом слагаемом взят потому, что отсчет расстояния z ведется от стенки.

В соответствии с приведенной двухслойной моделью турбулентного потока в турбулентном ядре t_турб >> t_лам  и первым слагаемым в формуле (6.37) можно пренебречь и принять

.

Отсюда .

Используя формулу Прандтля для длины пути перемешивания и введя обозначение , проинтегрируем последнее выражение

                              (6.38)

Эта формула выражает закон распределения скоростей в турбулентной области потока.

Логарифмический вид формулы (6.38) получен как следствие гипотезы Прандтля и, как отмечалось выше, неприемлем для течений в плоских каналах и трубах. Тем не менее, это уравнение составляет основу теории турбулентных потоков и находит все более широкое применение. Большинство эмпирических формул также имеет логарифмический вид.

Из физической картины турбулентного режима течения жидкости следует, что распределение скоростей в турбулентном ядре более равно­мерное. Действительно, интенсивное перемешивание частиц жидкости, их переход из слоя в слой по живому сечению потока приводит к выравниванию значений скоростей. В связи с этим коэффициент Кориолиса a, учитывающий неравномерность распределения скоростей по сечению в уравнении Бернулли, при турбулентном течении значительно меньше, нежели при ламинарном.

Напомним, что при ламинарном режиме течения a = 2 и не зависит от числа Рейнольдса.

При турбулентном режиме движения коэффициент Кориолиса является функцией Re и уменьшается с увеличением последнего
(рис. 6. 15) от a =1,13 при Re = Re_rp до a = 1,025 при Re = 3 10^б.

Как видно из графика, кривая a при возрастании числа Рейнольдса асимптотически приближается к единице, поэтому в большинстве случаев при турбулентном течении можно принимать a = 1.

 

 

Рис.6.15. Зависимость коэффициента Кориолиса от lg Re

 

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

1. Каковы основные особенности ламинарного и турбулентного режимов движения жидкости?

2. Что такое критическое число Рейнольдса?

3. Как соотносятся максимальная и средняя скорости при равномерном ламинарном движении в цилиндрической трубе?

5. Как распределяются касательные напряжения по сечению трубы при ламинарном равномерном движении?

6. Каковы значения коэффициента Кориолиса (кинетической энергии) при ламинарном и турбулентном режимах движения в цилиндри­ческой трубе?

7. От каких величин зависит коэффициент Дарси при равномерном ла­минарном движении в цилиндрической трубе с круглым поперечным сечением?

8. Что такое пульсационные скорости и пульсационные напряжения? Чему равны их осредненные во времени значения?

9. В чем различие осредненной местной скорости и средней в данном живом сечении скорости?

10. Какими величинами обычно характеризуют пульсационные состав­ляющие местных скоростей давления?

11. Чему равна динамическая скорость?

12. В чем основные характерные черты двухслойной модели турбулент­ного потока?

13. Как рассчитывается толщина вязкого подслоя? Можно ли считать толщину вязкого подслоя в данной трубе зависящей, например, от температуры жидкости? В зависимости от каких других величин может изменяться толщина вязкого подслоя?