Тогда исходное выражение уравнения Бернулли примет вид

. (6.44)

Применим закон об изменении количества движения к фиксированному объему, заключенному между сечениями 1-1, 2-2 и стенкой трубы. Для этого определим равнодействующую внешних сил, действующих на этот объем в направлении движения, т.е. от сил давления. Учитывая третье допущение, получим равнодействующую силу, численно равную секундному импульсу

Соответствующее этому импульсу изменение количества движения находится как разность между секундным количеством движения, выносимым из рассматриваемого объема и вносимым в него. При равномерном распределении скоростей по сечениям эта разность равна

Приравнивая одно к другому, получим

Заменим расход через его выражение Q = V₂ S₂ и разделим обе части этого выражения на S₂pg:

или .

Преобразуем правую часть этого уравнения

и перегруппируем его члены

Сопоставляя полученное выражение с формулой (6.44), можем сделать вывод, что

, (6.45)

т.е. потеря напора при внезапном расширении потока равна скоростному напору, определенному по разности скоростей. Это положение называют теоремой Борда, который вывел эту формулу. Полученный результат приводится к общему виду представления потерь на местном сопротивлении (формуле Вейсбаха) при помощи уравнения постоянства расхода (3.11) .

Исходя из этого можем записать

. (6.46)

Когда площадь S₂ весьма велика (например, выход из трубы в большой резервуар) по сравнению с площадью S₁, и следовательно, скорость V₂ можно считать равной нулю, потеря напора на расширении составит

т.е. V = 1, т.к. теряется весь скоростной напор.

Доказанная теорема хорошо подтверждается опытом при турбулентном течении и широко используется в практических расчетах.

В заключение отметим, что при ламинарном режиме течения закон сопротивления является еще более сложным и исследован в меньшей степени, чем при турбулентном режиме течения. Если при турбулентном течении потери на местном сопротивлении с достаточной степенью точности можно считать пропорциональными скорости во второй степени, а коэффициенты потерь , определяются в основном формой местного сопротивления и практически не зависят от Re, то при ламинарном течении потерю напора h_M следует представлять как сумму

, (6.47)

где h_т_p - потеря напора, обусловленная непосредственным действием сил вязкости в данном местном сопротивлении и скорости в первой степени; h_вихр потеря напора, связанная с деформацией потока и вихреобразованием в самом местном сопротивлении или за ним и пропорциональная квадрату скорости.

Так, например, при течении через колиброванное отверстие (жиклер) (рис.6.20) слева от плоскости расширения возникает потеря напора на вязкостное трение, а справа - на вихреобразование.