Линейная электродинамика. Уравнения Максвелла

 

Наличие в пространстве электрических зарядов устанавливает состояние, которое называется электромагнитным полем. Обычно его описывают парой векторов

 – электрический вектор;

 – магнитный вектор.

Чтобы адекватно описать влияние поля на материальные объекты, необходима вторая (дополнительная) группа векторов

 – вектор плотности электрического тока;

 – вектор электрического смещения;

 – магнитный вектор.

Пространственно-временные производные этих векторов связаны уравнениями Максвелла

 – векторная часть;

 – скалярная часть.

В уравнениях Максвелла с – скорость света в вакууме, r - плотность электрического заряда.

Следует также обратить внимание, что данная формулировка уравнений соответствует так называемой системе единиц Гаусса, являющейся компактной.

Первое уравнение Максвелла является обобщением эмпирического закона Био-Савара о возбуждении магнитного поля электрическими токами

.

Максвелл выдвинул гипотезу о том, что магнитное поле порождается не только токами, ткущими в проводнике, но и переменными электрическими полями в диэлектриках или вакууме. Величина магнитного поля пропорциональна скорости изменения электрического поля во времени, которая, в свою очередь, была названа током смещения

.

Полный ток есть сумма тока проводимости и тока смещения, т.е. ток всегда замкнут.

Второе уравнение Максвелла является математической формулировкой закона электромагнитной индукции Фарадея

.

Третье уравнение (теорема Гаусса) – есть обобщение закона взаимодействия неподвижных электрических зарядов (закон Кулона)

.

Четвертое уравнение выражает опытные данные об отсутствии магнитных зарядов, т.е. магнитные поля порождаются только электрическими токами

.

Из первого векторного уравнения несложно получить дивергентную форму закона сохранения электрического заряда

.

Эта форма является характерной для формулировки законов сохранения различной физической природы. Наиболее характерной формулировкой такого закона является уравнение неразрывности для газодинамического поля

,

где, в данном случае, r – плотность газа в данной точке пространства,  – вектор скорости движения газового потока.

Имеются дополнительные величины, имеющие непосредственное отношение к электромагнитному полю:

 – энергия поля в единице объема;

 – вектор Пойнтинга – плотность потока энергии поля по направлению распространения через единичную площадку;

 – импульс единицы объема поля – давление света, исследованное в работах Лебедева в 1900 г.

Совершенной очевидностью системы уравнений Максвелла является факт превышения числа неизвестных над количеством самих уравнений, что собственно делает невозможным однозначное разрешение данной системы уравнений. Для разрешения этого противоречия обходимы дополнительные соотношения, определяющие, в том числе, реакцию и влияние среды распространения на электромагнитную волну.