Геометрическая оптика

 

Рассматриваем линейно поляризованную волну, что дает возможность, как отмечалось ранее, в 3 раза снизить мерность решаемой задачи. Основное влияние сосредотачивается на анализе энергетики волны и направлении ее распространения с сохранением структуры поляризации.

Основа – скалярное волновое уравнение

,

где в качестве функции поля рассматривается комплексная функция поля вида

,

где  – вещественная функция пространственных координат амплитуды поля;  – вещественная функция пространственных координат, имеющую размерность [м] (ее смысл будет рассмотрен далее).

Несложно подставить функцию Е выбранного вида в волновое уравнение и определить условия, при которых она будет удовлетворять скалярному уравнению. После всех преобразований получится система уравнений

Далее можно осуществить предельный переход к геометрической оптике вида

Последняя система уравнений называется дифференциальными уравнениями геометрической оптики или, согласно Клаузиусу – уравнениями эйконала[1].

Первое уравнение определяет скорость распространения световой волны (волнового фронта) в направлении нормали к нему.

Второе уравнение определяет луч как ортогональную траекторию к семейству волновых фонтов или семейству поверхностей равных фаз.

Первое уравнение несложно перевести в векторную форму

,

где  – единичный вектор нормали к фронту световой волны. Далее после несложных преобразований можно записать

,

где ds – дифференциал дуги при дифференциале радиус-вектора.

Если в последнем соотношении положить n (x, y, z)=const, дифференциальное уравнение разрешается аналитически. Решение можно записать в виде

.

Т.е. в изотропной, однородной среде согласно решению свет распространяется по прямой линии, параллельно вектору  и проходя через точку .

Вектор  – принято называть лучевым вектором; он имеет длину, равную показателю преломления среды распространения, а направление – ортогональное фронту (волновому фронту) световой волны. Поле лучевого вектора является безвихревым (потенциальным), для которого справедливо соотношение

 или .

С использованием теоремы Стокса можно решить задачу о прохождении лучевого вектора через границу раздела сред с разными показателями преломления.

 

В результате получатся, так называемые, основные формулировки (составные части) закона Снеллиуса:

· падающий лучевой вектор , преломленный лучевой вектор  и единичный вектор нормали , направленный из первой среды во вторую, все лежат в одной плоскости;

· касательная составляющая (на поверхность разрыва показателей преломления) лучевого вектора не претерпевает разрыва

;

· справедливо количественное выражение

 или ,

где q₁ и q₂ – углы падения и преломления, соответственно.

 

Принцип Ферма. Современное представление величины эйконала, он же оптический путь l ₀

.

Это принцип наикротчайшего оптического пути, т.е. оптическая длина пути l ₀ реального луча между любыми двумя точками Р ₁ и Р ₂ короче оптической длины любой другой кривой, соединяющей эти точки и лежащей в регулярной окрестности луча.