Элементы линейной дисперсионной теории

Зависимость показателя преломления от длины волны проходящего излучения – называется дисперсией света.

Наиболее удобной для понимания моделью описания этого явления является классическая модель лорецевского гармонического осциллятора. Это одиночный атом, содержащий ядро и единственный электрон. Если к атому приложить внешнее поле, то расстояние между электроном и ядром изменится, т.е. наведется поляризация. Если поле меняется, то поляризация также будет меняться, т.е. частота изменения поляризации будет равна частоте изменения внешнего поля.

Другими словами электрон в переменном поле колеблется относительно своего положения равновесия, образуя колеблющийся диполь. Такой диполь излучает энергию с частотой колебаний диполя, т.е. с частотой приложенного поля. В этом случае фаза получающейся волны в среде будет иметь промежуточное значение между фазами падающей волны и волны, переизлученной диполем.

В реальности колебания совершает ансамбль электронов, что необходимо дополнительно учитывать.

Электрон – гармонический осциллятор, и его движение записывается через дифференциальное уравнение

где r – смещение электрона из положения равновесия,

е – заряд электрона,

m – масса электрона,

w₀ – собственная частота колебаний электрона,

g – параметр затухания,

Е – приложенное электрическое поле.

Пусть . Вещественную функцию Е можно представить в комплексном виде

где – комплексная амплитуда поля возмущения.

Если искать решение в виде , то несложной подстановкой в дифференциальное уравнение можно получить выражение для константы С

и для r

С учетом того, что поляризуемость единицы объема с плотностью электронов N

и поле электрического смещения

Исходя из этого, определяется коэффициент поляризуемости среды

и показатель диэлектрической проницаемости среды

т.е., во-первых, – явная зависимость показателя диэлектрической проницаемости среды от частоты падающей электромагнитной волны, а, во-вторых, диэлектрическая проницаемость – сугубо комплексная величина, т.е.

есть комплексный показатель преломления среды. В этом обозначении принято: – комплексный показатель преломления, n – вещественный показатель преломления и k – параметр поглощения среды.

Несложными преобразованиями можно получить систему трансцендентных алгебраических уравнений для определения вещественного показателя преломления и показателя поглощения среды

Особенностью данной системы уравнений является невозможность ее аналитического разрешения. Т.е. значения неизвестных могут быть получены только численно с использованием специальных компьютерных методов.

Если ограничиться рассмотрением газов, для которых вещественный показатель преломления и диэлектрическая проницаемость почти равны единице, то система алгебраических уравнений может быть упрощена и разрешена относительно неизвестных параметров в явном виде

На рисунке представлен вид зависимостей n и k от частоты w. Из графиков видно, что монотонно возрастающий характер изменения показателя преломления – нормальная дисперсия, нарушается вблизи значения w₀ – собственной частоты колебаний гармонического осциллятора. Характерный всплеск на кривой называется аномальной дисперсией. Следует обратить внимание, что вблизи собственной частоты имеет место всплеск величины k, обусловленный процессами резонансного поглощения энергии; именно это поглощение является причиной изменения монотонного характера показателя преломления.

Вдали от собственных линий поглощения монотонный характер зависимости показателя преломления сохраняется в широком спектральном диапазоне; при этом показатель поглощения остается практически на нулевом уровне, не оказывая на процессы никакого влияния.

В классической оптике известно представление Зельмейера для нормальной дисперсии, т.е. при выполнении условия , характерного для газов

В дисперсионной теории известно много соотношений, позволяющих достоверно рассчитывать показатель преломления среды в зависимости от частоты (длины волны) подающего излучения. Одна из таких формула Лоренц-Лорентца

где a – как и раньше – показатель поляризуемости среды,

N – число частиц в единице объема.

Для газов это соотношением может быть упрощено до вида

т.е.

или .

Последнее соотношение принято называть соотношением Гладстона-Дейла. Величина G, зависящая от сорта газа и длины волны излучения, называется постоянной Гладстона-Дейла.

Для данного сорта газа можно воспользоваться следующим соотношением для определения постоянной Гладстона-Дейла

где (n ₀–1) – может быть рассчитана для данной длины волны по общепринятой аппроксимации Коши

Постоянные А и В – табулированы и являются функциями только сорта газа. Что касается величины r₀, то она определяется из базовых термодинамических условий по уравнению состояния при T ₀=0 °C и Р ₀=760 Тор.

Ниже в таблице представлены результаты экспериментального измерения рефракции газов при базовых термодинамических условиях. Измерения проводились при мкм (желтая линия Na), которой соответствует измеренная базовая рефракция (n ₀₀–1).

Рефракции газов (при нормальных условиях и l=0,5893 мкм)

и коэффициенты в формуле Коши

Газ	(n ₀₀–1), 10^–4	A, 10^–5	B, 10^–15	Газ	(n ₀₀–1), 10^–4	A, 10^–5	B, 10^–15
Воздух	2,92	28,71	5,67	NH₄	3,77	36,45	11,8
O₂	2,71	26,63	5,07	CO₂	4,50	45,00	6,5
N₂	2,98	29,06	7,70	NO	2,95	29,50	7,4
H₂	1,39	13,58	7,52	HCl	4,46	43,56	8,7
Пары Hg	9,33	87,80	22,65	HBr	5,77	56,00	11,0
Ne	0,67	6,66	2,40	HJ	9,28	89,00	15,0
Ar	2,81	27,92	5,60	O₃	5,11	48,00	23,0
He	0,35	3,48	2,30	Cl₂	7,61	74,00	10,0
Kr	4,27	41,89	6,97	Пары H₂O	2,52	24,35	8,72
Xe	7,02	68,23	10,14

Последним важнейшим с практической точки зрения обстоятельством является определение рефракции многокомпонентных газовых смесей. Поскольку рефракция обладает свойством аддитивности (парциальности), то рефракцию смеси S газов можно рассчитать по следующему соотношению