Дифракция Фраунгофера на прямоугольной щели

 

O

P

N

M

C

B

j

Э1

Э2

Л

∆

Рис. 3.6 Дифракция плоской волны от щели

a

Дифракцию в парал­лельных лучах или дифракцию плоских волн впервые иссле­довал немецкий физик И. Фра­унгофер в 1821-1822гг. Пусть плоская монохроматическая волна падает нормально на не­прозрачный экран Э₁ с длинной узкой щелью АВ шириной а (рис. 3.6). Согласно принципу Гюйгенса – Френеля все точки щели можно рассматривать как вторичные источники световых волн, колеблющихся в одной фазе (так как плоскость щели есть часть волновой поверхности падающей плоской волны), и распространяющихся во всех направлениях. Из всего многооб­разия направлений выберем одно произвольное и будем рас­сматривать лучи, идущие под углом φ к падающим лучам. Па­раллельно экрану Э₁ поместим линзу Л, а в ее фокальной плос­кости – экран Э₂, на котором лучи соберутся в некоторой точке Р. Опустим перпендикуляр АС из точки А на крайний луч. АС представляет собой волновую поверхность для лучей, идущих под углом φ и, согласно определению, все точки данной поверх­ности колеблются в одной фазе. Поэтому отрезок ВС является оптической разностью хода между крайними лучами пучка, ВС = Δ = а sinφ. Поделим участок ВС на отрезки, равные λ/2 и из то­чек деления проведем плоскости, параллельные АС до пересе­чения с АВ (эти плоскости перпендикулярны рисунку и поэтому на нем изображены как прямые линии). Эти плоскости поделят щель АВ на равные полоски, которые являются зонами Френеля, т.к. световые волны, идущие от соседних полосок, имеют раз­ность хода λ/2 (см. рис. 3.6 ). Если число зон будет четным, они попарно погасят друг друга, и в точке Р будет наблюдаться ми­нимум освещенности. Четное число отрезков на участке ВС со­ответствует условию а sinφ = ±2 m λ/2, где m = 1,2,3…Это усло­вие называется условием дифракционного минимума. Из него находятся углы, под которыми наблюдаются дифракционные минимумы на экране. Знак “минус” соответствует лучам, иду­щим от щели под углом –φ.

Если число зон Френеля нечетно, на экране в точке Р по­лучается дифракционный максимум. Условие дифракционного максимума имеет вид

а sinφ = ±(2 m + 1)λ/2, где m = 1, 2, 3…

Это условие определяет углы, соответствующие макси­мумам освещенности на экране Э₂. Число m называется поряд­ком дифракционного максимума или минимума.

В центральной точке экрана О соберутся лучи, идущие в направлении φ = 0, следовательно, без разности хода. В этом на­правлении щель действует как одна зона Френеля, создавая в точке О самый интенсивный максимум нулевого порядка. Это будет светлая полоса, повторяющая форму щели. Дифракцион­ная картина от щели симметрична относительно точки О и ин­тенсивности максимумов более высоких порядков уменьшаются в пропорции 1: 0,047: 0,017: 0,008…

Дифракционная картина на экране зависит от отношения длины волны падающего монохроматического излучения λ к ширине щели а. Из условия дифракционного минимума , следовательно расстояния от центра картины до мини­мумов возрастают с уменьшением а. Центральная светлая полоса при этом расширяется. При а «λ вся поверхность щели будет небольшой частью лишь одной зоны Френеля. Такую щель можно считать линейным источником света, колебания от которого будут распространяться в одной фазе и дифракцион­ной картины не наблюдается. При а»λ в центре экрана получа­ется широкая равномерно освещенная полоса, обусловленная беспрепятственным прямолинейным распространением света от источника, и на ее краях наблюдаются очень узкие дифракцион­ные полосы.

При освещении щели белым светом дифракционные мак­симумы, соответствующие различным длинам волн пространст­венно разделятся. Чем меньше длина волны, тем ближе к центру экрана будет располагаться ее максимум. Это следует из усло­вия максимума при дифракции от одной щели. В центре экрана объединятся лучи всех длин волн, так как здесь угол φ = 0 и раз­ность хода Δ = 0, поэтому центральный максимум будет белым. Максимумы первого, второго и высших порядков разложатся в спектры, обращенные фиолетовым краем к центру экрана. По­добные спектры расплывчаты, поэтому четкое разделение по длинам волн при дифракции от одной щели получить не уда­ется. Для получения более качественной дифракционной кар­тины свет от источника необходимо пропустить через несколько параллельных щелей.

8. Дисперсия и разрешающая сила спектрального прибора.

P1

P2

d l

l

j

dj

O

Э

L

Рис. 3.9

Основными характеристиками любого спектрального прибора, в том числе и дифракционной решетки, являются его дисперсия и разрешающая сила. От их величин зависит способ­ность прибора пространственно разделить лучи разных длин волн. Линейная дисперсия D определя­ется как отношение , где d l - расстоя­ние между спектральными линиями, а dλ – разность длин волн этих линий. Определение справедливо также для разности частот линий dν. Угловая диспер­сия , где dφ – разность углов между лучами, отличающимися на dλ или dν со­ответственно. На рис. 3.9 показаны два луча, идущие под углами φ и φ + dφ, и имеющие длины волн λ и λ + dλ, соответственно.

Для определения угловой дисперсии дифракционной ре­шетки продифференцируем условие главного максимума d sinφ = = m λ. Мы получим

d cosφ dφ = m dλ,

откуда следует . При малых углах cosφ≈1 и Q ≈ ≈ m / d, т.е. чем выше порядок спектра и меньше период решетки, тем больше угловая дисперсия. Она не зависит от числа щелей в решетке и характеризует степень растянутости спектра в об­ласти данной длины волны.

Разрешающая сила спектрального прибора R показывает, какие близкие спектральные линии λ₁ и λ₂ с разностью длин dλ = λ₂ - λ₁ можно визуально разделить в спектре. , где λ – средняя длина волны разрещаемых линий λ₁ и λ₂. На рис. 3.10 пунктиром представлены две близкие спектральные линии, а сплошной кривой показаны наблюдаемые результирующие ин­тенсивности. В случае а) обе линии воспринимаются как одна, в случае б) линии воспринимаются раздельно. Это происходит потому, что возможность визуального разделения линий зависит также от их ширины. Согласно критерию, предложенному анг­лийским физиком Д.Рэлеем, спектральные линии считаются разрешенными, если максимум одной из них совпадает с мини­мумом другой (рис. 3.10 б).

Разрешающая сила дифракционной решетки R пропор­циональна числу щелей N и порядку спектра m, т.е. R = Nm. Приравняв друг другу два выражения для разрешающей силы, мы получим условие разрешимости линий . Если , то спектральные ли­нии разрешаются, если , линии не разрешаются.