Волновое уравнение Шредингера

По аналогии с классической механикой закон движения микрочастицы должен определяться законом распространения волн де Бройля. Распространение любой волны описывается волновым уравнением. Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси  (одномерный случай):

.

Выразив  и  через энергию и импульс частицы, мы получим  – волновую функцию для свободной частицы, которой соответствует волна с частотой  и волновым числом , т.е. . Учитывая, что , выразим  и  из уравнения плоской волны. Тогда

 и .

Подставляя  и  в уравнение , получим: = .

В трехмерном случае, т.е. когда , волновое уравнение:

 или ,

где  – оператор Лапласа. Это волновое уравнение Шредингера для свободной частицы.

Если микрочастица движется в силовом поле, т.е. имеет потенциальную энергию , то уравнение принимает вид:

 – это общее волновое уравнение Шредингера – основное уравнение нерелятивистской квантовой механики. Оно не выводится, а постулируется и справедливо для любой микрочастицы, движущейся со скоростью << .