В одномерной прямоугольной потенциальной яме

Рассмотрим одномерную (движение вдоль оси ) прямоугольную потенциальную яму шириной с бесконечно высокими стенками. Такая яма описывается потенциальной энергией вида:

Уравнение Шредингера для стационарных состояний:

По условию частица не проникает за пределы ямы, поэтому волновая функция за пределами равна нулю и граничное условие: . В пределах ямы уравнение Шредингера , но , а , тогда и , т.е. .

Общее решение уравнения Шредингера:

Поскольку при , , то , тогда . Условие выполняется только при , где – целое число. Волновое число должно удовлетворять условию . Тогда энергия частицы (n = 1,2,3,.,) Значит уравнение Шредингера, описывающее движение частицы в потенциальной яме, удовлетворяется только при собственных значениях энергии , зависящих от числа . Энергия частицы в потенциальной яме принимает только определенные дискретные значения, т.е. квантуется. Квантовые значения энергии называются уровнями энергии, а число – главным квантовым числом.

Подставив в значение , найдем собственные функции . Константу найдем из условия нормировки:

или .

Интеграл равен:

, тогда , откуда . Тогда .

На рисунке а) приведены собственные функции, соответствующие уровням энергии при , 2 и 3. На рисунке б) изображена вероятность нахождения частицы в различных участках ямы, равная при , 2 и 3. Энергетический интервал между уровнями

Например, для свободного электрона в металле м и эВ, т.е. уровни расположены так близко, что спектр можно считать непрерывным. Если размер ямы соизмерим с атомным м, то эВ, т.е. явно дискретные значения энергии (линейчатый спектр).