Гармонические колебания

Гармоническими колебаниями называются колебания, при которых изменяющаяся величина изменяется по закону синуса (косинуса).

Пусть груз весом Р подвешен на вертикальной пружине, длина которой в естественном состоянии равна . Груз слегка оттянут книзу и затем отпущен. Найдем закон движения груза, пренебрегая массой пружины и сопротивлением воздуха.

Решение

Направим ось Ох вниз по вертикальной прямой, проходящей через точку подвеса груза. Начало координат О выберем в положении равновесии груз, то есть в точке, в которой вес груза уравновешивается силой натяжения пружины.

Пусть l означает удлинение пружины в данный момент, а l_ст—статическое удлинение, т.е. расстояние от конца нерастянутой пружины до положения равновесия. Тогда l=l_ст+х, или l-l_ст=х.

Дифференциальное уравнение получим из второго закона Ньютона: F=ma, где m=P/g—масса груза а—ускорение движения и F—равнодей-ствующая приложенных к грузу сил. В данном случае равнодействующая слагается из силы натяжения пружины и силы тяжести.

По закону Гука сила натяжения пружины пропорциональна её удлинению: F_упр=-сl, где с – постоянный коэффициент пропорциональности называемый жесткостью пружины.

Так как в положении равновесия сила равновесия сила натяжения пружины уравновешивается весом тела, то P= сl_ст. Подставим в дифференциальное уравнение выражение Р и заменим l-l_ст через х, получится уравнение в виде:

или, обозначив с/m через k²,

(1)

Полученное уравнение определяет так называемые свободные колебания груза. Оно называется уравнением гармонического осциллятора. Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение:

имеет мнимые корни , соответственно этому общее решение

Для выяснения физического смысла решения удобнее привести его к другой форме, введя новые произвольные постоянные. Умножив и разделив на , получим:

Если положить

то

(2)

График гармонических колебаний имеет вид:

Таким образом, груз совершает гармонические колебания около положения равновесия.

Величину А называют амплитудойколебания, а аргумент — фазойколебания. Значение фазы при t=oт.e. величина , называется начальной фазойколебания. Величина есть частотаколебания. Периодколебания и частота k зависят только от жесткости пружины и от массы системы. Так как с = Р/l_ст = mg/l_ст,то для периода можно получить также формулу:

Скорость движения груза получается дифференцированием решения по t:

Для определения амплитуды и начальной фазы необходимо задать начальные условия. Пусть, например, в начальный момент t = 0 положение груза x=x₀ и скорость u=u₀. Тогда , откуда

Из формул для амплитуды и начальной фазы видно, что в отличие от частоты и периода собственных колебаний они зависят от начального состояния системы. При отсутствии начальной скорости (u₀ =0) амплитуда А=х₀,а начальная фаза a=p/2 и, таким образом,

или