Моделі рядів динаміки

1 2 3 4 5 6

ДОНЕЦЬКИЙ ІНСТИТУТ АВТОМОБІЛЬНОГО ТРАНСПОРТУ

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

До самостійної роботи студентів

З дисципліни «Економетрія»

(для студентів напряму підготовки

«Менеджмент» професійного

Спрямування 6.050200 «Логістика»

Всіх форм навчання)

ЗАТВЕРДЖЕНО на засіданні метод комісії напрямку 0502 «Менеджмент» протокол № 4 від 15.11.2007 р.

ЗАТВЕРДЖЕНО на засіданні кафедри «Вища математика і інформатика» Протокол № 3 від 23.10.2007 р.

Донецьк 2007

У методичних вказівках приведено інформаційне забезпечення до виконання самостійних робіт.

Укладачі: Бескровний О.І., ст. вик.

Турчина Н.А., асистент

ЗМІСТ

стор.

	Вступ …............................................................................................	4
1	Моделі рядів динаміки..........................................................………...	4
2	Автокореляція даних та залишків..................................................	8
	2.1. Автокореляція даних …………………....…………………………	9
	2.2. Автокореляція залишків ………………………………………….....	10
3	Мультиколінеарність…………………................. ………………………	12
4	Множинна регресія………………………………………………….…....	16
5	Рангова кореляція…………………………………………………………	21
	5.1. Випадок двох експертів………………………………………………	22
	5.2. Випадок багатьох експертів…………………………………………..	23
	Література......................................................................................	26

ВСТУП

Економетрія – це наука, що вивчає кількісні закономірності і взаємозалежності економічних процесів і об’єктів за допомогою математико-статистичних методів і моделей.

Зростаючій інтерес до економетрії викликаний сучасним етапом розвитку економіки в країні, формуванням ринкових відносин. Економетрія має інструментарій, що дозволяє перейти від якісного рівня аналізу до рівня, що використовує кількісні статистичні значення досліджуваних величин. Вона розглядає не окремі часткові характеристики, а будується на комплексному дослідженні всього економічного процесу.

Економетрія є синтезною дисципліною; вона об’єднує в собі економічну теорію, математичну економіку, економічну і математичну статистику. Курс економетрії тісно пов’язаний із мікроекономікою, макроекономікою, фінансовим аналізом, забезпечуючи прикладні знання спеціалістів. В ній містяться методи дослідження взаємозв’язку економічних явищ, висуваються і перевіряються гіпотези про наявність кореляційних зв’язків між ознаками, кількісно оцінюється істотність взаємозв’язків, визначаються форми зв’язку і проводиться вибір рівнянь, оцінюється достовірність параметрів, будуються однофакторні і багатофакторні регресійні моделі, дається оцінка їхньої адекватності і надійності.

Особливе місце займає дослідження зв’язку в динамічних процесах шляхом побудови авторегресійних моделей і оцінки можливості використання їх у прогнозуванні. Без економетричних методів не можна побудувати скільки-небудь надійного прогнозу, а значить – під сумнівом і успіх у керуванні економічними процесами в бізнесі, банківській справі, фінансах.

МОДЕЛІ РЯДІВ ДИНАМІКИ

Однією з найважливіших задач дослідження економічних процесів є вивчення зміни економічних показників з часом (товарообігу, обсягу випуску продукції, продуктивності праці і т.д.). Ця задача вирішується за допомогою упорядкування й аналізу рядів динаміки.

Динамічним рядом називається послідовність результатів спостережень за явищем через рівні проміжки часу.

Вивчаючи ряди динаміки, прагнуть виявити основну, головну тенденцію в зміні показників ряду. Аналітичне моделювання рядів динаміки проводиться за допомогою найпростіших економіко-математичних моделей: лінійної, параболічної, гіперболічної, логарифмічної, показникової, степеневої та інших.

Приклад 1.

Проаналізувати показники реалізації борошняних виробів у державній торгівлі Донецької області за ряд років. Знайти рівняння лінійної, параболічної і гіперболічної залежностей. Перевірити адекватність отриманих економіко-математичних моделей, визначити найкращу модель.

Роки	1991	1992	1993	1994	1995	1996	1997	1998	1999	2000
Реалізація виробів, тис.т	12,1	12,9	13,7	13,9	14,5	15,1	15,7	16,1	16,6	17,1

Розв’язок. Дані таблиці показують, що реалізація продукції неухильно зростала, хоча відбувалося це нерівномірно. Очевидно, існує ряд чинників, під впливом яких змінюється величина реалізації. Деякі з чинників можуть діяти довгостроково, а інші – короткочасно; деякі можуть бути істотними, інші – випадковими.

Для вирівнювання показника реалізації борошняних виробів у державній торгівлі використовуємо такі функції: лінійну, параболічну і гіперболічну. Параметри обраних для моделювання функцій можна знаходити за допомогою методу найменших квадратів. На його основі для кожній із функцій формують спеціальну систему рівнянь Гаусса. Для вказаних функцій приведемо відповідні системи:

Лінійна -	(1)
Параболічна -	(2)
Гіперболічна -	(3)

У кожній із систем (1)-(3) – результативний показник; – чинник часу; – кількість спостережень; – параметри моделей.

Відлік часового показника починають із 1. Складемо допоміжну розрахункову таблицю 1 і на її основі сформуємо системи Гаусса.

Таблиця 1 - Допоміжні розрахунки для формування систем Гаусса

х	у	x ²	x ³	x ⁴	уx	yx ²	1/ x	1/ x ²	y / x
1	12,1	1	1	1	12,1	12,1	1	1	12,1
2	12,9	4	8	16	25,8	51,6	0,5	0,25	6,45
3	13,7	9	27	81	41,1	123,3	0,333	0,111	4,5667
4	13,9	16	64	256	55,6	222,4	0,25	0,0625	3,475
5	14,5	25	125	625	72,5	362,5	0,2	0,04	2,9
6	15,1	36	216	1296	90,6	543,6	0,167	0,0278	2,5167
7	15,7	49	343	2401	109,9	769,3	0,1428	0,0204	2,2429
8	16,1	64	512	4096	128,8	1030,4	0,125	0,0156	2,0125
9	16,6	81	729	6561	149,4	1344,6	0,111	0,0123	1,844
10	17,1	100	1000	10000	171	1710	0,1	0,01	1,71
55	147,7	385	3025	25333	856,8	6169,8	2,9288	1,5496	39,8178

У останньому рядку таблиці 1 вказані суми всіх значень для кожного стовпця.

Складемо системи для трьох функцій і знайдемо відповідні рівняння.

Для визначення параметрів рівняння лінійної функції запишемо систему рівнянь (1) і знайдемо її розв’язок:

Таким чином, – лінійна модель.

Для визначення параметрів рівняння параболічної функції запишемо систему рівнянь (2) і знайдемо її розв’язок за допомогою методу Гаусса:

Таким чином, – параболічна модель.

Для визначення параметрів рівняння гіперболічної функції запишемо систему рівнянь (3) і знайдемо її розв’язок

Таким чином, – гіперболічна модель.

Адекватність економіко-математичної моделі може бути встановлена за допомогою середньої помилки апроксимації (середнього відсотку розбіжності теоретичних і фактичних значень):

, (4)

де – фактичні значення показника, – теоретичні значення, знайдені за рівнянням.

Для цього за кожним рівнянням знаходять теоретичні значення , підставляючи в них відповідні значення , і для кожного значення

розраховують , потім знаходять середнє значення .

При моделюванні економічних показників частіше усього припускається 5% похибка (іноді 7%, рідко 10%). Модель рахується адекватною (тобто придатною), якщо .

Вибір найкращої моделі можна проводити на основі залишкового середньоквадратичного відхилення (залишкової дисперсії):

, (5)

де – кількість параметрів у рівнянні.

Кращою буде та функція, для котрої значення менше.

Таблиця 2 - Розрахунки для лінійної функції


1	12,1	12,3458	0,2458	1,991	0,060418
2	12,9	12,8846	0,0154	0,1195	0,000237
3	13,7	13,4234	0,2766	2,0606	0,076508
4	13,9	13,9622	0,0622	0,4455	0,003869
5	14,5	14,501	0,001	0,0069	0,000006
6	15,1	15,0398	0,0602	0,4003	0,003624
7	15,7	15,5786	0,1214	0,7793	0,014738
8	16,1	16,1174	0,0174	0,1079	0,000303
9	16,6	16,6562	0,0562	0,3374	0,003158
10	17,1	17,195	0,095	0,5525	0,009025
				6,8008	0,17188

З формул (4), (5) маємо: ; .

Таблиця 3 - Розрахунки для параболічної функції


1	12,1	12,2251	0,1251	1,023305	0,01565
2	12,9	12,8445	0,0555	0,432092	0,00308
3	13,7	13,4437	0,2563	1,906469	0,06569
4	13,9	14,0227	0,1227	0,87501	0,015055
5	14,5	14,5815	0,0815	0,558927	0,006642
6	15,1	15,1201	0,0201	0,132936	0,000404
7	15,7	15,6385	0,0615	0,39326	0,003782
8	16,1	16,1367	0,0367	0,227432	0,001347
9	16,6	16,6147	0,0147	0,088476	0,000216
10	17,1	17,0725	0,0275	0,161078	0,000756
				5,798984	0,112623

З формул (4), (5) маємо: ; .

Таблиця 4 - Розрахунки для гіперболічної функції


1	12,1	11,251	0,8489	7,5450	0,7206
2	12,9	13,739	0,83905	6,1070	0,7040
3	13,7	14,568	0,868367	5,9606	0,7541
4	13,9	14,983	1,083025	7,2283	1,1729
5	14,5	15,232	0,73182	4,8045	0,5356
6	15,1	15,398	0,297683	1,9333	0,0886
7	15,7	15,517	0,183843	1,1848	0,0338
8	16,1	15,605	0,4945	3,1720	0,2450
9	16,6	15,674	0,9259	5,9070	0,8573
10	17,1	15,729	1,3706	8,71355	1,8785
				52,556	6,9904

З формул (4), (5) маємо: . Оскільки ,

то ця модель адекватною не являється і рахувати для неї не треба.

Складемо зведену таблицю для статистичних оцінювальних характеристик:

Таблиця 5 - Статистичні оцінки для досліджуваних моделей

Вид функції
Лінійна	0,68	0,147
Парабола	0,579	0,127
Гіпербола	5,25	–

З порівняння середніх помилок апроксимації видно, що для гіперболічної функції вона виходить за 5% рівень, в лінійної моделі і параболічної ця характеристика не виходить за 5% рівень і приблизно однакова. Якщо оцінювати перевагу, то очевидно, що кращою є параболічна функція, оскільки у неї залишкове середньоквадратичне відхилення найменше.