Нелинейная регрессия. Нелинейная модель и их линеаризация

8 9 10 11 12 13 14

Различают 2 класса нелинейных регрессий:

-регрессии нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам;

-регрессии, нелинейные по включенным параметрам.

Примером нелинейной регрессии по включаемым в нее объясняющим переменным могут слуюить следующие функции:

Полиномы разных степеней: y=a+bx+cx²+ε, y=a+bx+cx²+dx³+ ε;

Равносторонняя гипербола:

К нелинейным регрессиям по оцениваемым параметрам относятся функции:

Степенная y=ax^b ε

Показательная y=ab^x ε

Экспоненциальная у=у^a+bx ε

Линеаризация нелинейной модели представляет собой преобразование используемой модели в линейную путем замены переменных на нестепенные.

Так, в параболе второй степени у=а₀+а₁х+а₂х²+ ε заменяя переменные х=х₁, х²=х₂, получим двухфакторное уравнение линейной регрессии: у=а₀+а₁х₁+а₂х₂+ ε, для оценки параметров Ã используется МНК.

Соответственно для полинома третьего порядка y=a+bx+cx²+dx³+ ε при замене х=х, х²=х₂, х³=х_3,, получим трехфакторную модель линейной регрессии: у=а₀+а₁х₁+а₂х₂+ а₃х₃+ ε

Название ф-ии	Вид модели	Заменяемые переменные	Вид линеаризированной модели
Показательная	Ln y = Ln a+ х ln b	Ln y = Y, Ln a = α, Ln b =β	Y = a + xbα+x β (Þ a=e^α, b=e^β)
Степенная	Ln y = Ln a+ b ln x	Ln y = Y, Ln a = α, Ln x =x	Y = a + bxα+bx
гиперболическая	Y = a + b/x	1/x=X	Y = a +b X