Понятие волны, основные определения. Упругие волны. Уравнение сферической и плоской волны. Поперечные и продольные волны. Принцип Гюйгенса. Дифференциальное уравнение волны

Колебания, возбуждаемые в какой-либо точке среды, могут в ней распространяться дальше, так как частицы среды взаимодействуют друг с другом.

Определение: волна – это процесс распространения колебаний, периодический во времени и пространстве.

Природа волн может быть различной (упругие, электрические, электромагнитные…), но закономерности волновых процессов, физически различных, математически описываются одинаково.

В продольной волне колебания происходят параллельно направлению распространения волны; в поперечной – перпендикулярно. При распространении продольной упругой волны происходит деформация сжатия-растяжения; поперечной – сдвига. Деформация сдвига вызывает возникновение упругих сил только в твёрдых телах  поперечные волны возможны только в твёрдых телах; а продольные – и в твёрдых, и в жидких, и в газах.

Рис.4.15

Волновой фронт – совокупность точек, до которых дошла волна в данный момент времени. Волновой фронт может быть сферический, плоский. Луч – направление распространения волны. В изотропной среде луч перпендикулярен волновому фронту.

Принцип Гюйгенса (объясняет процесс распространения волн): любая точка волнового фронта является точечным источником вторичных сферических волн.

При распространении упругих волн в среде любая частица колеблется около своего положения равновесия. Переноса частиц среды не происходит. Волной переносится энергия. Все частицы колеблются с одинаковой частотой, определяемой частотой источника.

Колебания любой новой частицы, захваченной волновым процессом, отстают по фазе от колебаний предыдущей частицы. Скорость перемещения фиксированной фазы называется фазовой скоростью .

Пусть в точке с координатой  (рис.4.16) величина  колеблется по закону:

.                                             (4.45)

Рис.4.16

Для любой другой точки с координатой x запаздывание по фазе будет определяться временем запаздывания (в течение этого времени волна дойдёт до точки x):

.

Заменив в (4.45) переменную  на , получим уравнение плоской волны для точки x:

;

,                           (4.46)

где  – волновой вектор (волновое число):

.                                                (4.47)

Определение: длина волны  – это расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду:

.                                                (4.48)

Или:  – это минимальное расстояние между двумя точками, которые колеблются в одинаковой фазе (рис.4.16).

Из (4.47) и (4.48):

.                                          (4.49)

Поскольку фаза , то  - характеризует быстроту изменения фазы во времени;  - характеризует быстроту изменения фазы в пространстве.

Найдём скорость перемещения постоянной фазы (фазовую скорость); для этого положим

,

тогда

,

откуда

.