Системы дифференциальных уравнений

3.1. Интегрирование систем линейных дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами сведением к одному
дифференциальному уравнению

Многие системы дифференциальных уравнений, как однородные, так и неоднородные, могут быть сведены к одному уравнению относительно одной неизвестной функции. Покажем метод на примерах.

Пример 3.1. Решить систему

Решение. 1) Дифференцируя по t первое уравнение и используя второе и третье уравнения для замены и , находим

Полученное уравнение дифференцируем по еще раз

1) Составляем систему

Из первых двух уравнений системы выразим переменные и через :

. (3.1)

Подставим найденные выражения для и в третье уравнение системы

Итак, для нахождения функции получили дифференциальное уравнение третьего порядка с постоянными коэффициентами

2) Интегрируем последнее уравнение стандартным методом: составляем характеристическое уравнение , находим его корни и строим общее решение в виде линейной комбинации экспонент, учитывая кратность одного из корней: .

3) Далее, чтобы найти две оставшиеся функции и , дифференцируем дважды полученную функцию

Используя связи (3.1) между функциями системы, восстанавливаем оставшиеся неизвестные

Ответ. , , .

Может оказаться, что все известные функции кроме одной исключаются из системы третьего порядка уже при однократном дифференцировании. В таком случае, порядок дифференциального уравнения для ее нахождения будет меньше, чем число неизвестных функций в исходной системе.

Пример 3.2. Проинтегрировать систему

(3.2)

Решение. 1) Дифференцируя по первое уравнение, находим

Исключая переменные и из уравнений

будем иметь уравнение второго порядка относительно

(3.3)

2) Из первого уравнения системы (3.2) имеем

(3.4)

Подставляя в третье уравнение системы (3.2) найденные выражения (3.3) и (3.4) для и , получим дифференциальное уравнение первого порядка для определения функции