2018-02-14
758
3.1.1. 
3.1.2. 
3.1.3. 
3.1.4. 
3.1.5. 
3.1.6. 
3.1.7. 
3.1.8. 
3.1.9. 
3.1.10. 
3.1.11. 
3.1.12. 
3.1.13. 
3.1.14. 
3.1.15. 
3.1.16. 
3.1.17. 
3.1.18. 
3.1.19. 
3.1.20. 
3.1.21. 
3.1.22. 
3.1.23. 
3.1.24. 
3.1.25. 
3.1.26. 
3.1.27. 
3.1.28. 
3.1.29. 
3.1.30. 
3.2. Решение систем линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с помощью нахождения
фундаментальной системы решений
Общее решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений может быть найдено как линейная комбинация фундаментальных решений системы. В случае систем с постоянными коэффициентами для нахождения фундаментальных решений могут быть использованы методы линейной алгебры.
Пример 3.3. Решить систему
(3.5)
Решение. 1) Перепишем систему в матричном виде
. (3.6)
2) Будем искать фундаментальное решение системы в виде вектора 
. Подставляя функции 
в (3.6) и сокращая на 
, получим
или
, (3.7)
то есть число 
должно быть собственным числом матрицы 
, а вектор 
соответствующим собственным вектором.
3) Из курса линейной алгебры известно, что система (3.7) имеет нетривиальное решение, если ее определитель равен нулю
,
то есть 
. Отсюда находим собственные значения 
.
4) Найдем соответствующие собственные векторы. Подставляя в (3.7) первое значение 
, получим систему для нахождения первого собственного вектора
или
Отсюда получаем связь между неизвестными 
. Нам достаточно выбрать одно нетривиальное решение. Полагая 
, тогда 
, то есть вектор 
является собственным для собственного значения 
, а вектор функции 
фундаментальным решением заданной системы дифференциальных уравнений (3.5). Аналогично, при подстановке второго корня 
в (3.7) имеем матричное уравнение для второго собственного вектора 
. Откуда получаем связь между его компонентами 
. Таким образом, имеем второе фундаментальное решение
.
5) Общее решение системы (3.5) строится как линейная комбинация двух полученных фундаментальных решений
или в координатном виде
.
Ответ. .
