3.1.1. 3.1.2.
3.1.3. 3.1.4.
3.1.5. 3.1.6.
3.1.7. 3.1.8.
3.1.9. 3.1.10.
3.1.11. 3.1.12.
3.1.13. 3.1.14.
3.1.15. 3.1.16.
3.1.17. 3.1.18.
3.1.19. 3.1.20.
3.1.21. 3.1.22.
3.1.23. 3.1.24.
3.1.25. 3.1.26.
3.1.27. 3.1.28.
3.1.29. 3.1.30.
3.2. Решение систем линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с помощью нахождения
фундаментальной системы решений
Общее решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений может быть найдено как линейная комбинация фундаментальных решений системы. В случае систем с постоянными коэффициентами для нахождения фундаментальных решений могут быть использованы методы линейной алгебры.
|
|
Пример 3.3. Решить систему
(3.5)
Решение. 1) Перепишем систему в матричном виде
. (3.6)
2) Будем искать фундаментальное решение системы в виде вектора . Подставляя функции в (3.6) и сокращая на , получим
или
, (3.7)
то есть число должно быть собственным числом матрицы , а вектор соответствующим собственным вектором.
3) Из курса линейной алгебры известно, что система (3.7) имеет нетривиальное решение, если ее определитель равен нулю
,
то есть . Отсюда находим собственные значения .
4) Найдем соответствующие собственные векторы. Подставляя в (3.7) первое значение , получим систему для нахождения первого собственного вектора
или
Отсюда получаем связь между неизвестными . Нам достаточно выбрать одно нетривиальное решение. Полагая , тогда , то есть вектор является собственным для собственного значения , а вектор функции фундаментальным решением заданной системы дифференциальных уравнений (3.5). Аналогично, при подстановке второго корня в (3.7) имеем матричное уравнение для второго собственного вектора . Откуда получаем связь между его компонентами . Таким образом, имеем второе фундаментальное решение
|
|
.
5) Общее решение системы (3.5) строится как линейная комбинация двух полученных фундаментальных решений
или в координатном виде
.
Ответ. .