Исследование на устойчивость решений физических задач

Пример 3.7. Заряженный шарик с зарядом  может двигаться без трения по горизонтальному жёлобу. Слева и справа от него на одной линии с ним неподвижно располагаются отрицательные заряды  и  на расстоянии  друг от друга. Найти положение равновесия шарика и исследовать его на устойчивость.

Решение. 1) Выберем систему координат так, что её начало – в положении равновесия шарика, а ось  направим вдоль линии, на которой расположены заряды, в направлении от 1-го заряда ко 2-му (рис.3.1). Обозначим как  и  расстояния от положения равновесия шарика до зарядов.

Рис.3.1. Система из трёх линейно расположенных зарядов.

2) Пусть в некоторый момент шарик отклонён от положения равновесия на малую величину , тогда проекции на ось  сил притяжения, действующих на шарик со стороны 1-го и 2-го зарядов, суть (  – постоянная закона Кулона)

                                           .                                       (3.12)

В положении равновесия , поэтому

                                                             ,                                                           (3.13)

откуда получим расстояние от шарика до 1-го заряда в положении равновесия

                                                              .                                                            (3.14)

3) Используя 2-й закон Ньютона, запишем дифференциальное уравнение, описывающее движение шарика вдоль оси  

                                                                 ,                                                              (3.15)

где  – масса шарика. С учётом (3.12) уравнение (3.15) принимает вид

                                                  .                                              (3.16)

4) Исследуем положение равновесия (3.14) на устойчивость по линейному приближению, линеаризовав по уравнение (3.16). Для этого разложим проекции сил (3.12) по степеням , ограничившись линейными членами:

.

Вычисляя, имеем

,

поэтому

                       .                     (3.17)

Подставляя (3.17) в (3.15), получим линеаризованное уравнение

                          ,

которое с учётом (3.13) принимает вид линейного уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами

                                                   .                                                 (3.18)

5) Характеристическое уравнение для (3.18) имеет вид

,

а его корни – действительные

,

причём , поэтому положение равновесия шарика – неустойчивое.

Ответ. В положении равновесия расстояние от шарика до 1-го заряда , равновесие неустойчивое.

3.6.1. Заряженный шарик с зарядом  может двигаться без трения по горизонтальному желобу. Слева и справа от него на одной линии с ним неподвижно располагаются положительные заряды  и  на расстоянии друг от друга. Найти положение равновесия шарика и исследовать его на устойчивость.

3.6.2. Заряженный шарик с зарядом  может двигаться без трения по горизонтальному желобу. Справа от него на одной линии с ним неподвижно располагаются заряды  и  на расстоянии  друг от друга, причем положительный заряд ближе к шарику, чем отрицательный. Найти положение равновесия шарика и исследовать его на устойчивость.

3.6.3. Заряженный шарик с зарядом  может двигаться без трения по горизонтальному жёлобу. Справа от него на одной линии с ним неподвижно располагаются заряды  и  на расстоянии  друг от друга, причём отрицательный заряд ближе к шарику, чем положительный. Найти положение равновесия шарика и исследовать его на устойчивость.

3.6.4. Верхняя обкладка плоского воздушного конденсатора, подключённого к источнику постоянного напряжения , подвешена на пружине жёсткости , нижняя – неподвижна, причём в положении равновесия расстояние между обкладками равно . Площадь каждой из обкладок , электрическая постоянная . Исследовать положение равновесия верхней обкладки на устойчивость. Краевыми эффектами пренебречь.

3.6.5. Верхняя обкладка плоского воздушного конденсатора, подключённого к источнику постоянного напряжения , подвешена на пружине жёсткости , нижняя – неподвижна, причём в положении равновесия расстояние между обкладками равно . Площадь каждой из обкладок , электрическая постоянная . Исследовать положение равновесия верхней обкладки на устойчивость. Краевыми эффектами пренебречь.