double arrow

Модели линейного роста

Временные экономические ряды могут иметь тенденции линейного или параметрического роста. При прогнозировании в этих случаях метод экспоненциального сглаживания выдает смещенные прогнозы. Для случая, когда временной ряд имеет тенденцию линейного роста, разработано несколько вариантов адаптивных моделей, также использующих процедуру экспоненциального сглаживания. В основе моделей лежит гипотеза о том, что прогноз может быть получен по уравнению

,

где  - текущие оценки коэффициентов адаптивного полинома первого порядка.

Одной из первых моделей этого типа была двухпараметрическая модель Ч.Хольта, в которой оценка коэффициентов производится следующим образом:

;

                 

где  и  - параметры экспоненциального сглаживания , которые мы также будем называть параметрами адаптации.

Эти уравнения могут быть переписаны в виде:

 

где - ошибка прогноза.

Частным случаем модели Хольта является модель линейного роста Брауна:

 

где параметр  - коэффициент дисконтирования, характеризующий обесценение данных наблюдения за единицу времени, 0< <1.

Если модель Хольта усовершенствовать путем включения разности ошибок, то получим полную трехпараметрическую модель прогнозирования Дж. Бокса и Г. Дженкинса:

где , являются параметрами модели, 0< <1;  - ошибка прогнозирования.

На основе практических испытаний модели на многих экономических рядах Бокс и Дженкинс пришли к выводу, что включение в модель разности ошибок не является необходимым. Коэффициент , всегда оказывался близким к нулю. П. Харрисон пришел к такому же заключению. Это объясняется стохастическим характером данных, и, в частности, тем, что корреляция ошибок в подобных случаях неустойчива.

Харрисон провел эмпирическое сравнение однопараметрической модели Брауна с многопараметрическими моделями. Многопараметрические модели ни в одном случае не дали заметного преимущества. Поэтому на практике для прогнозирования рядов с линейной тенденцией предпочтительнее использовать более простую модель Брауна. Из теоретического сопоставления различных моделей, проведенного П. Харрисоном и Д. Вардом, следует аналогичный вывод. К положительным чертам метода Брауна можно отнести следующие: логичная, ясная и легко понимаемая концепция; оптимальное значение единственного параметра можно быстро найти эмпирическим путем; коэффициенты модели прогнозирования оцениваются совместно таким образом, чтобы уменьшить автокорреляцию в остатках. Все это делает модель Брауна легко применимой [16,42].

 

Сезонные модели

Модели мультипликативной сезонности имеют вид:

,

где динамика величины  характеризует тенденцию развития процесса;

 - коэффициенты сезонности;

 - количество фаз в полном сезонном цикле (если ряд представляет месячные наблюдения, то в экономике обычно , при квартальных данных  и т. п.);

 - неавтокоррелированный шум с нулевым математическим ожиданием. Модели аддитивного типа записываются как:

,

где величина  описывает тенденцию развития процесса;

 - аддитивные коэффициенты сезонности.

Адаптивная модель линейного роста с мультипликативной сезонностью была предложена П. Р. Уинтерсом. Аддитивная модель рассмотрена Г. Тейлом и С. Вейджем.

Модель с мультипликативной сезонностью имеет вид:

 

 Как видим,  является взвешенной суммой текущей оценки , полученной путем очищения от сезонных колебаний фактических данных  и предыдущей оценки . В качестве коэффициента сезонности  берется его наиболее поздняя оценка, сделанная для аналогичной фазы цикла. Затем величина , полученная по первому уравнению, используется для определения новой оценки коэффициента сезонности по второму уравнению.

Прогноз следующего значения ряда:

.

Общее выражение прогноза на  шагов вперед:

.

 Величины  и  могут быть записаны через прошлые данные и начальные условия:

 

,

где  - начальное значение ;  - начальное значение  в соответствующей  фазе цикла; - наибольшая целая часть .

Следовательно, прогноз является функцией всех прошлых значений ряда, параметров  и , и начальных условий

Модель аддитивной сезонности строится аналогично с той лишь разницей, что уровень ряда определяется соотношением:

.

Влияние начальных условий на прогноз зависит от величины весов и длины ряда, предшествующего текущему моменту . Влияние  обычно будет уменьшаться быстрее, чем влияние начальных значений , так как , пересматривается на каждом шаге, а  только один раз за цикл.

Если эта сезонная модель прогнозирования, структура которой не содержит элементов для отражения какой-либо тенденции роста, применяется для прогнозирования ряда, характеризующегося ярко выраженной тенденцией, то коэффициенты  перестают быть простыми коэффициентами сезонности и вскоре вбирают в себя в определенной мере эффект роста.

 


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: