Интегрированная модель авторегрессии - скользящего среднего

Общая модель, предложенная Боксом и Дженкинсом, включает как параметры авторегрессии, так и параметры скользящего среднего. Итак, имеется три типа параметров модели: параметры авторегрессии (p), порядок разности (d), параметры скользящего среднего (q). В обозначениях Бокса и Дженкинса модель записывается как АРИСС(p,d,q). Например, модель (0, 1, 2) содержит 0 (нуль) параметров авторегрессии (p) и 2 параметра скользящего среднего (q), которые вычисляются для ряда после взятия разности с лагом 1.

Нестационарные ряды преобразовываются в стационарные путем перехода от исходного ряда к его разностям порядка :

На практике обычно разности берутся с лагом 0, 1 или 2. Разность может браться повторно, несколько раз.

Для преобразования нестационарного ряда в стационарный могут быть использованы и другие преобразования. Например, из временного ряда может быть удалена тенденция, или, если временной ряд характеризуется экспоненциальным ростом, то полезно предварительно использовать операцию логарифмирования.

В общем случае построение модели осуществляется с использованием трехстадийной итерационной процедуры (рис. 5.3) [2,3,16]. Только после этого модель может быть использована для прогнозирования.

Под идентификацией имеется в виду определения подкласса экономных (с точки зрения числа параметров) моделей, среди которых следует искать адекватную. Целью этого этапа является получение некоторого представления о величинах p, d, q.

Идентификация включает две стадии: определение порядка разности исходного ряда, который обеспечивает стационарность, идентификация модели АРСС для ряда . Главными инструментами анализа на обоих стадиях являются АКФ и ЧАКФ. Они используются не только для определения вида модели, но и для приближенной оценки параметров.

После определения вида модели необходимо оценить параметры модели и проверить ее адекватность исследуемому временному ряду. Для оценки параметров модели как правило используется метод максимального правдоподобия, а для проверки адекватности используются методы, основанные на анализе остатков.

Далее рассмотрим каждый из этапов алгоритма построения модели, особый акцент сделав на этапе идентификации, так как от правильного выбора вида модели во многом зависит успешность процесса прогнозирования.

Итак, нам необходимо определить порядок разности, который обеспечивал бы преобразование нестационарного ряда в стационарный.

Для этого сначала определяем, является ли исходный ряд стационарным.

Часто нестационарность ряда можно определить визуально, например наличие монотонного тренда, различные амплитуды колебаний для разных частей траектории и т.д.

Если не наблюдается перечисленных признаков, указывающих на нестационарность, то следует рассмотреть оценку АКФ. Если она не имеет тенденции к затуханию, то можно говорить о нестационарности временного ряда. Если ряд стационарен, то . Если же нет, то следует рассмотреть разность первого порядка ряда. К полученному ряду первых разностей вновь применяют критерий стационарности. В случае нестационарности вновь берут его разности первого порядка, либо от исходного ряда берут разности второго порядка (т.е. имеем разность второго порядка) и вновь используют критерий нестационарности.Итак, при определении порядка разности предполагается, что порядок разности, обеспечивающий стационарность, достигнут тогда, когда АКФ (а соответственно, и ЧАКФ) процесса  падает достаточно быстро (затухает).

Для процесса  с использованием АКФ определяем  и . Для определения параметров ,  рассматривают выборочные АКФ и ЧАКФ ряда.

Имеются следующие закономерности, связывающие эти параметры в смешанной модели:

Пусть наблюдается процесс авторегрессии порядка . Тогда его ЧАКФ обрывается на лаге . АКФ плавно спадает.

Пусть наблюдается процесс скользящего среднего порядка . Тогда его АКФ обрывается на лаге . ЧАКФ плавно спадает.

АКФ в модели, у которой оба параметра не равны нулю, представляется в виде экспонент и затухающих синусоид.

Как видно, критерии определения параметров модели носят достаточно расплывчатый характер, возможно, с их помощью будет идентифицирована не одна модель.

Модель АРСС(1,1).

АКФ затухает либо монотонно, либо колебательно.

В ЧАКФ преобладает затухающий экспоненциальный член, либо монотонный, либо осциллирующий.

Вся совокупность типичных автокорреляционных функций описывается шестью комбинациями различных значений параметров модели  и . Знак АКФ на лаге 1 совпадает со знаком разности - . При каждом знаке возможны три варианта поведения АКФ и ЧАКФ: обе монотонны, обе осциллируют, одна осциллирует, другая монотонна. Рассмотрим эти случаи:

•  - Функции убывают экспоненциально, их значения отрицательны.
•  - Функции убывают экспоненциально, их значения положительны.
•  - АКФ экспоненциально убывает, ее значения положительны. ЧАКФ убывает, осциллирует, ее значение на лаге 1 положительно.
•  - ЧАКФ экспоненциально убывает, ее значения отрицательны. АКФ убывает, осциллирует, ее значение на лаге 1 отрицательно.
•  - Функции убывают, осциллируют, их значения на лаге 1 положительны.
•  - Функции убывают, осциллируют, их значения на лаге 1 отрицательны.

 

На этапе идентификации целесообразно определить несколько подходящих моделей и затем, оценив их параметры и исследовав остатки, оценить адекватность моделей, выбрав далее наилучшую.

Под оценкой коэффициентов модели понимается получение численных значений параметров модели при предположении ее адекватности процессу, т.е. определение коэффициентов авторегрессии и скользящего среднего. Оценка производится, как правило, методом максимального правдоподобия.

Прогноз осуществляется непосредственно по уравнению модели. Для расчета доверительного интервала может быть использовано выражение:

,

где - квантиль стандартного нормального распределения c уровнем значимости .

 

Полная сезонная модель может быть представлена в виде АРИСС(p,d,q)(Ps,Ds,Qs), где параметрами (Ps,Ds,Qs) описывается сезонная компонента модели. Причем разности порядка Ds обычно берутся с сезонным лагом. Порядок сезонной модели определяется, также как и обычной, на этапе идентификации. Причем, все сказанное выше о построении несезонной модели естественным образом распространяется и на сезонные лишь с учетом сезонного фактора.