Моделирование воздействия всех предшествующих элементов ряда на показатель в текущий момент основано на предпосылке о том, что в ошибках модели за несколько предшествующих периодов сосредоточена информация о всей предыстории ряда, т.е. линейно зависит от конечного числа предыдущих значений .
СС(q)-модель (модель скользящего среднего - го порядка) имеет вид:
,
Коэффициенты могут быть как отрицательные, так и положительные.
Если ввести оператор скользящего суммирования порядка :
,
тогда .
Для нахождения очередного значения временного ряда используется реализация белого шума в данный момент времени и линейная комбинация предыдущих реализаций белого шума.
Для решения практических задач, как правило, достаточно =1,2.
Процессы авторегрессии и скользящего среднего обратимы. Причем в случае обратимости этих процессов параметры одной модели могут быть выведены из другой. Например, модель СС(1) выражается моделью АР в бесконечным числом членов; справедливо и обратное: модель АР(1) выражается моделью СС в бесконечным числом членов. Для обеспечения обратимости модели СС(q) корни уравнения должны лежать вне единичного круга. На параметры АР(р) никакие ограничения не накладываются.
Смешанная модель авторегрессии и скользящего среднего
Моделями скользящего среднего и авторегрессии можно удовлетворительно описывать многие реальные процессы. Однако на практике для достижения большей гибкости в подгонке моделей к наблюдаемым временным рядам иногда бывает целесообразно объединить в одной модели и авторегрессию и скользящее среднее, т.е. построить модель АРСС(р,q):
,
сокращенно:
или .
Очевидно, что эта модель является комбинацией АР(p) и СС(q) моделей.