Авторегрессионная модель

Большинство временных рядов содержат элементы, которые последовательно зависят друг от друга. В модели авторегрессии порядка текущий уровень ряда представляется в виде взвешенной суммы предыдущих наблюдений:

Или

, где .

Порядок авторегрессии определяется путем перебора, а его начальное значение определяется на основе анализа АКФ и ЧАКФ. Лучшей считается величина, при которой достигнута наименьшая дисперсия ошибок.

В сезонной модели авторегрессии порядок выбирается равным периоду сезонности. Модель авторегрессии целесообразно использовать для стационарных рядов.

Введем оператор сдвига назад:

Тогда модель можно записать как:

Введем авторегрессионный оператор порядка :

Тогда модель запишется в виде формулы

Одним из видов авторегрессионных процессов является марковские процессы. Марковскими называются процессы, в которых состояние объекта в каждый следующий момент времени определяется только состоянием в настоящий момент, и не зависит от того, каким путем объект достиг этого состояния. В терминах корреляционного анализа для временных рядов марковский процесс можно описать следующим образом: существует статистически значимая корреляционная связь исходного ряда с рядом сдвинутым на один временной интервал, и отсутствует c рядами, сдвинутыми на два, три и т. д. временных интервала. В идеальном случае эти коэффициенты корреляции равны нулю.

С помощью уравнения авторегрессии такой ряд описывается следующим образом:

где - коэффициент автокорреляции с лагом 1:

Кроме марковских процессов из авторегрессионных часто встречающимися являются так называемые процессы Юла, в которых учитывается авторегрессия не только первого, но и второго порядка: