Лабораторна робота №2

Визначення положення центра згину балки тонкостінного профілю

 

    Мета роботи: визначити теоретично і експериментально положення центра згину балки тонкостінного профілю.

 

Теоретичні відомості

Система сил, яка лежить в площині перерізу балки тонкостінного профілю, відповідно до законів механіки може бути приведена до будь-якої точки у вигляді рівнодіючої сили і моменту.

Точка С, відносно якої момент дотичних сил в перерізі при поперечному згині дорівнює нулю, називається центром згину. Через центр згину проходить поперечна сила Q, що є рівнодійною дотичних зусиль.

Розглянемо балку тонкостінну профілю(рис. 2.1), яка в перерізі має вигляд кругового незамкнутого кільця постійної товщини, і визначимо для нього положення центра згину

Рисунок 2.1 Переріз балки тонкостінну профілю

 

    Рівнодійна дотичних зусиль Т по осі у визначається інтегралом:

 

.                                   (2.1)

 

    де τ - дотичне напруження; dF – елементарна площа перерізу.

    Формула для визначення дотичних напружень при згині має вигляд

 

  ,                                       (2.2)

 

    де Q - поперечна сила;  - статичний момент частини площі перерізу відносно осі z; I_z - момент інерції перерізу відносно осі z; t - товщина стінки кільця.

    Статичний момент заштрихованої частини перерізу (див. рис. 2.1) визначається інтегралом

 

;                  (2.3)

 

    де ψ – центральний кут.

    Момент інерції перерізу відносно осі z визначається за формулою

 

  ,                                       (2.4)

 

    де r – відстань від центра кільця до середини стінки профілю (див. рис. 2.1).

    Відстань від центра кільця до середини стінки можна визначити за формулою

 

,                                      (2.5)

 

    де d_з – зовнішній діаметр кільця; d_в – внутрішній діаметр кільця.

    Підставимо (2.3) та (2.4) у формулу (2.2) і отримаємо

 

    .                                  (2.6)

 

    Користуючись виразом (2.6), проінтегруємо (2.1) і визначимо рівнодійну дотичних зусиль

 

.

 

    Таким чином отримали, що поперечна сила Q є рівнодійною дотичних зусиль Т.

    Момент дотичних зусиль відносно центра кільця

 

.                 (2.6)

 

Центр згину профілю знайдемо, виходячи з того, що момент рівнодійної сили відносно будь–якої точки дорівнює сумі моментів складових сил відносно тієї точки.

    Отже, відносно центра кільця

 

 

    де е - відстань від центра кільця до центра згину.

З урахуванням (2.6) отримуємо

 

,                                         (2.7)

 

тобто для кругового незамкнутого кільця постійної товщини (рис. 2.1) центр згину С знаходиться на відстані, рівній  і віддалений від центра перерізу по вісі симетрії.

Визначимо положення центра згину для швелера постійної товщини (рис. 10.3).

 

Рисунок 2.2 Переріз швелера

    Для швелера (див. рис. 10.3) момент дотичних зусиль відносно точки А, яка знаходиться посередині стінки, дорівнює

 

,                                    (2.8)

 

    де h - відстань між середніми лініями полиць; τ – дотичні напруження; t - товщина стінки швелера; b – довжина полки.

    Відстань між середніми лініями полиць можна визначити за формулою

 

.                                       (2.9)

 

    Момент інерції перерізу відносно осі z

 

     .                                          (2.10)

 

Статичний момент для ділянки полки довжиною s дорівнює

 

.                                       (2.11)

 

З урахуванням виразів (2.10) і (2.11) для полки згідно (2.2) отримаємо

 

     .                         (2.12)

 

    Підставимо (2.12) у (2.8) і після інтегрування дістанемо

 

.

 

Звідки випливає, що у швелера постійної товщини (рис. 2.2) центр згину віддалений від середньої лінії стінки на відстані

 

.                                      (2.13)

Опис установки

Загальний вигляд установки для визначення положення центра згину балки тонкостінну профілю, яка в перерізі має вигляд кругового незамкнутого кільця постійної товщини, наведено на рис. 2.3. Балка з одного кінця жорстко затиснена з допомогою двох болтів і має вигляд консолі (рис. 2.4).

 

 

Рисунок 2.3 Установка для визначення положення центра згину балки тонкостінну профілю

 

Рисунок 2.4 Схема установки для визначення положення центра згину балки тонкостінну профілю

 

    Загальний вигляд установки для визначення центра згину балки тонкостінну профілю, яка в перерізі має вигляд швелера постійної товщини, наведено на рис. 2.5. Балка також з одного кінця жорстко затиснена з допомогою двох болтів і має вигляд консолі (рис. 2.6).

 

Рисунок 2.5 Установка для визначення положення центра згину швелера

 

Рисунок 2.6 Схема установки для визначення положення центра згину швелера

 

На вільному торці тонкостінної балки, розміщена рейка, по якій може переміщуватись повзун з гирьовим підвісом (див. рис. 2.3 і 2.5). Відлік переміщення повзуна по рейці проводиться по шкалі. На кінцях рейки встановлені дві п’ятки, в які упираються ніжки індикаторів. Дослідна перевірка положення центра згину проводиться з допомогою двох індикаторів годинникового типу.