Експериментальна перевірка теорем про взаємність робіт і переміщень

Мета роботи - перевірити дослідним шляхом теореми про взаємність робіт і переміщень.

Теоретичні відомості

Теорема про взаємність робіт безпосередньо випливає із принципу незалежності дії сил і застосовується до всіх пружних систем, для яких дійсний цей принцип.

Розглянемо консольну балку, схема якої зображена на рис. 4.1,а, до якої прикладена сила в точці і сила в точці . Визначимо роботу, що роблять сили і при прямому й зворотному порядку прикладення.

Прикладаємо спочатку в точці силу (рис. 4.1,б). Ця сила зробить роботу , де - переміщення точки по напрямку сили , викликане силою . У точці прикладаємо силу . Ця сила зробить роботу, що буде мати аналогічний вираз . Одночасно з виконає роботу й сила , оскільки при прикладанні сили відбудеться й переміщення точки . Робота сили буде , де - переміщення точки по напрямку сили під дією сили , прикладеної в точці . У підсумку одержимо суму робіт при прямому порядку прикладення сил:

. (4.1)

Спочатку прикладемо силу (рис. 4.1,в), а потім . Міркуючи аналогічно, знаходимо

. (4.2)

Прирівнюючи (4.1) і (4.2), знаходимо .

Отриманий результат можна сформулювати таким чином: робота першої сили на переміщенні точки її прикладення під дією другої сили дорівнює роботі другої сили на переміщенні точки її прикладення під дією першої сили. У цьому полягає теорема взаємності робіт (теорема Бетті).

Якщо , то і теорему взаємності робіт трактують як теорему взаємності переміщень.

Переміщення точки А під дією сили, прикладеної в точці В, дорівнює переміщенню точки В під дією тієї ж сили, але прикладеної в точці А (теорема Максвелла).

Рисунок 4.1 Схеми навантаження консольної балки

Опис установки

Роботу виконують на установці, загальний вигляд якої показано на рис. 4.2. Установка складається з консольної балки довжиною (див. рис. 4.1), затисненої з одного боку, двох індикаторів годинникового типу і , які встановлюють у точках А і В для вимірювання переміщень балки у вертикальному напрямку, і двох підвісів з набором вантажів. Навантаження балки виконується зосередженими силами і , що прикладають на відстані ні і від защемлення. Балка має прямокутний поперечний переріз із розмірами сторін 50 мм, 9 мм, матеріал балки – сталь Ст 3.