Проекция Гаусса – Крюгера, вывод формул проекции

В проекции Гаусса – Крюгера поверхность эллипсоида изображаетсяпо меридианным зонам в шесть градусов по долготе, причем эти зоны приурочиваются к колоннам международной разграфки, положенной в основуноменклатуры Международной карты 1:1000 000.

В данной проекции меридианы и параллели изображаются кривыми,при этом меридианы симметричны относительно осевого, который по условию изображается прямой линией; параллели же симметричны относительно экватора, который изображается также прямой, т. е. проекция определяется тремя условиями: она симметрична относительно среднего меридианаи экватора, равноугольна, и сохраняет длины на среднем меридиане.

Рассмотрим теорию проекции Гаусса – Крюгера.

Формула масштаба длин свободно выбранного направления имеет вид

Вынесем в знаменателе за скобки r ² и примем Mdφ / r = dq, тогда

Применяя комплексные переменные, можем написать

Проекция равноугольная, поэтому масштаб длин в данной точке должен быть постоянен, т. е. не должен зависеть от направления. Для выполнения этого условия необходимо поставить требование, чтобы x + iy былоаналитической функцией от q + i λ(или x – iy функцией от q – i λ)

x + iy = f (q + iλ).

Последнее уравнение является общим уравнением всех равноугольныхпроекций, где q и λ – изометрические координаты, а функция f может быть получена разными способами; она может быть линейной, показательной, степенной, функция может быть получена и путем разложения в ряд Тейлора.

Разложим f (q + iλ) в ряд Тейлора

но i = √− 1, i ² = – 1, i ³ = – i, i ⁴ = + 1 и т. д., а поэтому получаем

Приравняв действительные и мнимые части последнего равенства, получим

Величина f (q) называется характеристикой. В проекциях, где картографические сетки симметричны, она характеризует абсциссу проекции наэтом меридиане.

Чтобы получить проекцию Гаусса – Крюгера, нужно поставить условия:

– проекция равноугольна и симметрична относительно осевого меридиана и экватора;

– осевой меридиан данной зоны с долготою λ = 0, принимаемый за ось Х, изображается прямой линией;

– масштаб длин на осевом меридиане m ₀ = 1.

Это условие приводит к равенству

x_{λ =0}= f (q) = X = s_m,

где последние два значения равенства – длины дуги меридиана от экваторадо текущей параллели (от начала прямоугольных координат до данной точки с широтою φ). f – функция аналитическая, λ не превышает 3°.

Далее нужно найти производные

и т. д. и подставить их в уравнения.

но поэтому

т. е. первая производная равна радиусу текущей параллели;

но

откуда

где е ′² – квадрат второго эксцентриситета; тогда

Четвертую и пятую производные запишем без вывода

Подставим производные в уравнения

При составлении карт масштабом мельче 1:50 000 члены формул, содержащие λ ⁴ и λ ⁵, обычно не учитывают. Рассмотренная проекция Гаусса –Крюгера не является строго равноугольной, так как при ее получении использовано разложение многочлена в ряд.

Для нахождения масштаба длин используем известную формулу

Получим формулу масштаба длин, ограничивая ее членами,содержащими λ ².

Тогда коэффициент g Гаусса равен

Подставим полученное значение g в формулу масштаба (λ и ρ) вградусах:

В картографической практике величину η2 обычно не учитывают,поэтому

m = n = 1 + 0.000152 λ ² cos² φ.

Изоколы в проекции Гаусса – Крюгера имеют вид овалов, вытянутых вдоль осевого меридиана. Максимальные искажения длин достигают0,14 %.

Для топографических карт ряда стран в настоящее время применяется в шестиградусных зонах проекция (UTM) – универсальная поперечно-цилиндрическая проекция Меркатора, называемая также проекциейГаусса – Боага.

Данная проекция отличается от проекции Гаусса – Крюгера тем, что вней на среднем меридиане частный масштаб длин m ₀равен не единице, а 0,9996.