Контрольная работа № 2

1 2 3 4 5

“Введение в анализ. Техника дифференцирования”

Задача № 1

Найти пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.

1. а) ; б) ;

в) ; г) ;

2. а) ; б) ;

в) ; г) ;

3. а) ; б) ;

в) ; г) ;

4. а) ; б) ;

в) ; г) ;

5. а) ; б) ;

в) ; г) ;

6. а) ; б) ;

в) ; г) ;

7. а) ; б) ;

в) ; г) ;

8. а) ; б) ;

в) ; г) ;

9. а) ; б) ;

в) ; г) ;

10. а) ; б) ;

в) ; г) ;

11. а) ; б) ;

в) ; г) ;

12. а) ; б) ;

в) ; г) ;

13. а) ; б) ;

в) ; г) ;

14. а) ; б) ;

в) ; г) ;

15. а) ; б) ;

в) ; г) ;

16. а) ; б) ;

в) ; г) ;

17. а) ; б) ;

в) ; г) ;

18. а) ; б) ;

в) ; г) ;

19. а) ; б) ;

в) ; г) ;

20. а) ; б) ;

в) ; г) ;

Задача № 2

Задана функция f(x). Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

Задача № 3

Найти производные функций.

1. а) ; б) ;

в) ; г) ,

д) x tg y = y sin x.

2. а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) (sin x) /y = (cos y) /x.

3. а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) (x+y) sin x = cos y.

4. а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) x sin (x+y) = y.

5. а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) y/x = sin (x y).

6. а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) xy = sin (x+y).

7. а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) x/y = ctg (x+y).

8. а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) x cos y y sin x = 0.

9. а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

10. а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

11. а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

12. а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

13. а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

14. а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

15. а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

16. а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) cos(x-y)= x +2 y.

17. а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

18. а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

19. а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

20. а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

Задача 4

Найти производную второго порядка от функции, заданной параметрически.

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

13. 14. 15.

16. 17. 18.

19. 20.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНОЙ

РАБОТЕ № 1

Пример 1. Даны координаты вершин пирамиды : Найти:

1) длину ребра ;

2) угол между ребрами и ;

3) уравнение ребра , уравнение плоскости и угол между ребром и плоскостью ;

4) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань и ее длину;

5) площадь грани и объем пирамиды;

6) показать, что векторы , , образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение. Найдем координаты векторов, которые совпадают с выходящими из вершины ребрами пирамиды:

1) Длина ребра совпадает с расстоянием между точками и :

2) Определим угол между векторами, используя скалярное произведение. Так как то

3) Уравнение прямой, проходящей через две точки, имеет вид

Подставляя в уравнение координаты точек A₁ и A₄, получим

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, имеет вид

Подставляя в уравнение координаты точек , и , получим

Синус угла между прямой и плоскостью определяется по формуле

Используя эту формулу, находим

4) Уравнение высоты найдем как уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости , задаваемой уравнением . В качестве направляющего вектора прямой может быть взят вектор нормали плоскости . Уравнение высоты имеет вид

Для нахождения длины высоты можно использовать формулу Объем V и площадь будут найдены в п. 5). Поэтому

5) Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и . Найдем вначале векторное произведение этих векторов. Имеем

Объем пирамиды равен части объема параллелепипеда, построенного на данных векторах, поэтому вначале находим смешанное произведение этих векторов. Имеем

Поэтому .

6) Для того, чтобы векторы , ` , ` образовывали базис, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение было отлично от нуля. В п. 5) мы уже вычислили смешанное произведение ` a = – 18 ¹ 0.

Таким образом, эти векторы образуют базис. Найдем координаты вектора в базисе` a, , . Обозначим эти координаты x, y, z. Тогда имеем равенство = x a + y + z , которое в координатной форме примет вид системы уравнений относительно неизвестных x, y, z

Решим систему уравнений методом Крамера. Определитель этой системы = 18. Вспомогательные определители:

, ,

Решение системы уравнений получим по формулам Крамера

Итак, вектор в базисе ` a, , имеет координаты ( 1;1;0).

Пример 2. Даны координаты вершин треугольника : , , . Найти:

1) уравнения сторон и их угловые коэффициенты;

2) угол в радианах или градусах с точностью до двух знаков;

3) уравнение высоты и ее длину;

4) уравнение медианы и координаты точки пересечения этой медианы с высотой .

Сделать чертеж.

Решение. Найдем координаты векторов и .

1) Уравнение стороны получим как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки . Подставляя в уравнение координаты точек A и В, имеем

, , .

Угловой коэффициент прямой равен . Аналогичным образом находим уравнение стороны :

, , .

Угловой коэффициент прямой равен .

2) Определим угол между векторами и , используя скалярное произведение. Так как то

, .

3) Уравнение высоты находится как уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору . Имеем или . Длина высоты вычисляется как расстояние от точки до прямой :

4) Находим координаты середины отрезка :

, .

Уравнение медианы получается как уравнение прямой линии, проходящей через две точки и . Имеем

, .

Координаты точки пересечения прямых и находятся из системы уравнений этих прямых

Вычисления дают , .

Пример 3. Найдите уравнение линии в декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось OX - с полярной осью. Определите вид линии по уравнению в декартовой системе координат.

Решение. Воспользуемся формулами, связывающими координаты точки в декартовой и полярной системе координат: , , , , .

Получим

, .

Возведение в квадрат обеих частей приводит к равенству

Выделяя полный квадрат, получим

Разделив обе части уравнения на , убеждаемся, что искомая кривая является гиперболой

смещенной вдоль оси OX на вправо.

Пример 4 Составить уравнение линии,каждая точка которой одинаково удалена от прямой х = 2 и от точки А (4;0). Сделать чертеж.

Решение. Пусть точка М (х;у) принадлежит искомой линии. Расстояние между точками и вычисляется по формуле

По условию задачи .

Расстояние от точки до прямой, заданной уравнением , вычисляется по формуле

Уравнение прямой х – 2 =0. Следовательно . По условию задачи d= . Поэтому

Возведем обе части уравнения в квадрат. Приводя подобные, получим или . Следовательно, искомая линия является параболой.

Пример 5. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера и используя обратную матрицу

Решение. Вычислим определитель системы

Определитель отличен от нуля. Следовательно, система имеет единственное решение

1)Решая систему уравнений методом Крамера, вычислим дополнительные определители:

По формулам Крамера получим решение системы уравнений:

2) Так как определитель не равен нулю, то матрица системы является невырожденной и, следовательно, имеет обратную матрицу. Запишем исходную систему уравнений в матричном виде

Умножив обе части этого уравнения слева на матрицу A^- ¹, получим X= A^- ¹ B. Здесь A^- ¹матрица обратная А, которая находится по формуле

Для построения обратной матрицы найдем алгебраические дополнения к элементам матрицы A. Имеем

Обратная матрица A ^-1 имеет вид

, .

Следовательно, , .

Пример 6. Решить систему уравнений методом Гаусса

Решение. В соответствие с методом Гаусса запишем расширенную матрицу, состоящую из коэффициентов при неизвестных и столбца свободных членов

С помощью элементарных преобразований из расширенной матрицы системы получим треугольную матрицу. Умножим первую строку на -2 и прибавим ее ко второй. Умножим первую строку на -1 и прибавим ее к третьей. Умножим первую строку на -3 и прибавим ее к четвертой. Получим