2018-02-12
209
РАБОТЕ №2
Пример 1. Найти пределы, не пользуясь правилом Лопиталя:
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
Решение. а) Знаменатель и числитель дроби стремятся к бесконечности при 
. Имеем неопределенность вида 
. Разделив числитель и знаменатель на x в наибольшей степени, т.е. на x 4, получим
5,
т.к. при 
каждое из слагаемых в числителе и знаменателе кроме констант 5 и 1 стремится к нулю.
б) Для раскрытия неопределенности 
при наличии иррациональной бесконечно малой величины в числителе необходимо избавиться от иррациональности, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение, и сократить одинаковые бесконечно малые величины.
.
в) Воспользовавшись формулой тригонометрии 
и первым замечательным пределом 
, имеем
г) Для раскрытия неопределенности 
преобразуем дробь и показатель степени так, чтобы воспользоваться вторым замечательным пределом.
= 
= 
=
= 
= 
= 
Пример 2. Задана функция 
. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.
Решение. На промежутке (-∞,0) функция 
совпадает с функцией φ (х) = 
. Это элементарная функция, а элементарные функции непрерывны всюду, где они определены, Значит на промежутке
(-∞,0) функция φ (х) непрерывна, а, следовательно, непрерывна и функция 
. Аналогично устанавливается непрерывность функции 
на промежутках (0,4), (4,∞).
Исследуем непрерывность функции в точке 
Для этого найдем правосторонний предел функции 
и левосторонний предел 
. Пределы совпадают и равны значению функции в этой точке. Функция 
непрерывна в точке 
.
 |
Исследуем непрерывность функции в точке 
. Найдем правосторонний предел функции 
и левосторонний предел 
. Поскольку левосторонний и правосторонний пределы различными, оставаясь конечными, то 
является точкой разрыва первого рода или скачком.
Сделаем чертеж
Пример 3. Найти производные 
функций:
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
;
д) 
.
Решение. а) Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции и таблицей производных, имеем
.
б) Имеем
в) Имеем
г) Прологарифмируем равенство 
.
Имеем 
.
Продифференцируем обе части по 
:
,
.
В результате имеем
.
д) Уравнение 
определяет у как неявную функцию от х. Дифференцируя обе части уравнения по х и учитывая, что у есть функция переменной х, получаем
Из этого уравнения находим
Пример 4. Найти производную второго порядка 
от функции, заданной параметрически.
Решение. Если функция задана параметрически
то производные 
вычисляются по формулам
и т. д.
Найдем частные производные
Имеем
Продифференцируем полученное равенство по t
Окончательно получим
