РАБОТЕ №2
Пример 1. Найти пределы, не пользуясь правилом Лопиталя:
а) ; б) ;
в) ; г) .
Решение. а) Знаменатель и числитель дроби стремятся к бесконечности при . Имеем неопределенность вида . Разделив числитель и знаменатель на x в наибольшей степени, т.е. на x 4, получим
5,
т.к. при каждое из слагаемых в числителе и знаменателе кроме констант 5 и 1 стремится к нулю.
б) Для раскрытия неопределенности при наличии иррациональной бесконечно малой величины в числителе необходимо избавиться от иррациональности, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение, и сократить одинаковые бесконечно малые величины.
.
в) Воспользовавшись формулой тригонометрии и первым замечательным пределом , имеем
г) Для раскрытия неопределенности преобразуем дробь и показатель степени так, чтобы воспользоваться вторым замечательным пределом.
= = =
= = =
Пример 2. Задана функция . Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.
Решение. На промежутке (-∞,0) функция совпадает с функцией φ (х) = . Это элементарная функция, а элементарные функции непрерывны всюду, где они определены, Значит на промежутке
(-∞,0) функция φ (х) непрерывна, а, следовательно, непрерывна и функция . Аналогично устанавливается непрерывность функции на промежутках (0,4), (4,∞).
Исследуем непрерывность функции в точке Для этого найдем правосторонний предел функции и левосторонний предел . Пределы совпадают и равны значению функции в этой точке. Функция непрерывна в точке .
Исследуем непрерывность функции в точке . Найдем правосторонний предел функции и левосторонний предел . Поскольку левосторонний и правосторонний пределы различными, оставаясь конечными, то является точкой разрыва первого рода или скачком.
Сделаем чертеж
Пример 3. Найти производные функций:
а) ; б) ;
в) ; г) ;
д) .
Решение. а) Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции и таблицей производных, имеем
.
б) Имеем
в) Имеем
г) Прологарифмируем равенство .
Имеем .
Продифференцируем обе части по :
,
.
В результате имеем
.
д) Уравнение определяет у как неявную функцию от х. Дифференцируя обе части уравнения по х и учитывая, что у есть функция переменной х, получаем
Из этого уравнения находим
Пример 4. Найти производную второго порядка от функции, заданной параметрически.
Решение. Если функция задана параметрически
то производные вычисляются по формулам
и т. д.
Найдем частные производные
Имеем
Продифференцируем полученное равенство по t
Окончательно получим