К контрольной работе №5

Для решения задач 1–2 необходимо изучить пункты 1,2 программы.

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения = tg x tg y.

Решение. Полагая = , получим = tg x tg y. Разделяя переменные, приходим к уравнению сtg у dy = tg x dx. Интегрируем:

сtg у dy= tg x dx, или ln = – ln +ln c.

(Постоянная интегрирования обозначена ln c). Отсюда находим sin y =c/ cos x или sin y cos x =c – общее решение уравнения.

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

(1+ ) dy +ydx= 0.

Решение. Преобразуем уравнение к виду = – . Интегрируя получим = – , или ln =

= – arctg x + c. Общее решение можно записать в виде .

Пример 3. Найти общее решение однородного дифференциаль-ного уравнения х = х + 2 у.

Решение. Однородное дифференциальное уравнение первого порядка можно привести к виду = f (). Чтобы решить уравнение проводят замену , где u (x) – новая неизвестная функция, после чего уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными.

Преобразуя исходное уравнение, получим = или = – однородное уравнение. Полагаем , тогда = u + x . Уравнение запишется x + u = 1 + 2 u или х = 1+ u. Решаем полученное уравнение с разделяющимися переменными

=1 + u или = , интегрируем = , получим ln = ln + ln . Откуда 1+ u =cx или u= cx – 1. Возвращаясь к старой переменной у по формуле u= , получим обще решение .

Пример 4. Найти частное решение линейного дифференциаль-ного уравнения первого порядка, удовлетворяющее начальному условию:

− = , (0) = 1.

Решение. Решение уравнения ищем в виде произведения двух функций y = u (x) v (x), вычисляя производную, получим

= .

После подстановки в уравнение, запишем

= или

= .

Выберем функцию v (x) такой, чтобы выполнялось условие =0. Разделяя переменные в этом уравнении, находим или . После интегрирования обеих частей равенства, получим ln = 2 ln + с, т.к. достаточно найти хотя бы одно решение отличное от нуля, то положим с = 0. Тогда = . Подставляя найденное значение v (x) в исходное уравнение и учитывая, что =0, запишем = или , откуда после интегрирования получим . Окончательно общее решение запишется

y = u (x) v (x) .

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию

(0) = 1. (0) = 1. Откуда , тогда частное

решение запишется .

Для решения задачи 3 необходимо изучить пункт 3 программы.

Некоторые типы уравнений второго порядка приводятся к уравнениям первого порядка. К ним относятся:

1) Уравнения вида , которые не содержат явным образом . Обозначим производную через т.е.

Тогда

Подставляя эти выражения производных в исходное уравнение, получим уравнение первого порядка.

2) Уравнения вида , которые не содержат явным образом .

Положим и, так как то для определения производной применим правило дифференцирования сложной функции

Подставляя выражения производных в исходное уравнение, получим уравнение первого порядка относительно вспомогательной функции

Пример 5. Решить уравнение .

Решение. Вводим новую функцию , , тогда . Подставив ее в уравнение, имеем

Это линейное уравнение первого порядка относительно и его решение разыскиваем в виде произведения

Учитывая требования , , находим функцию : подставляем в уравнение для определения

Отсюда

Таким образом, , и можно найти функцию y

Пример 6. Найти общий интеграл уравнения .

Решение. Уравнение не содержит явным образом . Следовательно, допускается понижение порядка. Обозначим

Тогда .

Получим уравнение с разделяющимися переменными , интегрируя которое, находим или

Откуда

Перед решением задач 4 и 5 следует изучить пункты 4, 5 програм-мы.

Пусть имеем уравнение

, (1)

где p и q - действительные числа.

Для уравнения с постоянными коэффициентами в некоторых случаях частное решение можно найти, не прибегая к интегрированию.

1. Пусть правая часть уравнения (1) представляет собой произведение показательной функции на многочлен, т.е. имеет вид , где - многочлен n– й степени. Тогда возможны случаи:

а) Число a не является корнем характеристического уравнения В этом случае частное решение нужно искать в виде

. (2)

Где – многочлен степени n с неизвестными коэффициентами. Подставляя выписанное решение в уравнение (1) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему n+1 уравнений для определения неизвестных коэффициентов .

б) Число a есть корень характеристического уравнения кратности r. Частное решение нужно искать в виде

2. Пусть правая часть уравнения имеет вид

, (3)

где - многочлены от х. Тогда форма частного решения определяется следующим образом:

а) если a + i b не является корнем характеристического уравнения, то частное решение уравнения (1) следует искать в виде

, (4)

где - многочлены, степень которых равна наивысшей степени многочленов ;

б) если a + ib является корнем характеристического уравнения, то частное решение уравнения (1) следует искать в виде .

Пример 7. Написать вид частного решения уравнения

. (5)

Решение. Определим корни характеристического уравнения для однородного уравнения

, .

Правая часть уравнения (5) является суммой функций, поэтому частное решение имеет вид , где – частное решение уравнения

– частное решение уравнения

В нашем случае – это функция специального вида (3). Имеем не совпадают с корнями и поэтому . Поскольку ,то , поэтому , а это означает, что будут полными многочленами второй степени: . По формуле (4) имеем

Отметим, что является функцией вида (2), где . Следовательно,

так как не является корнем характеристического уравнения, т.е. . Таким образом, частное решение уравнения (5) будет иметь вид

Пример 8. Найти общее решение уравнения.

Решение. Общее решение будет иметь вид .

Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни

Тогда общее решение соответствующего однородного уравнения

Правая часть данного неоднородного уравнения имеет вид . Так как коэффициент 3 в показателе степени не является корнем характеристического уравнения, то частное решение будем искать в форме , т.е. положим . Подставляя это выражение в заданное уравнение, будем иметь

Сокращая на и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим

откуда Следовательно, частное решение будет иметь вид

Общее решение:

Пример 9. Найти общее решение уравнения.

Решение. Общее решение будет иметь вид . Общее решение соответствующего однородного уравнения

Правая часть данного неоднородного уравнения имеет вид . Так как коэффициент 1 в показателе степени является простым корнем характеристического уравнения, то частное решение будем искать в форме . Подставляя это выражение в заданное уравнение, будем иметь

или

Сокращая на и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим откуда Следовательно, частное решение будет

Общее решение: +

Пример 10. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Общее решение будет иметь вид .

Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни

Общее решение соответствующего однородного уравнения

Правая часть данного неоднородного уравнения , очевидно, что bi =2i является корнем характеристического уравнения, частное решение будем искать в форме