Достаточное условие существования экстремума

Теорема 2 Первое достаточное условие существования экстремума Пусть функция f (х) определена и непрерывна в некоторой d – окрестности U (х ₀,d) точки х ₀ и дифференцируема в проколотой окрестности U (х ₀,d) точки х ₀, тогда

       1) если  при х Î(х ₀– d;0) и  при х Î(х _0; х ₀+d), то функция f (х) имеет в точке х ₀ локальный максимум.

 

                                           + –

                                 х ₀– d  х ₀ х ₀+ d    х

2) если  при х Î(х ₀– d, х ₀) и  при х Î(х ₀, х ₀+d), то функция f (х) имеет в точке х ₀ локальный минимум.

                                           – +

                                 х ₀– d  х ₀ х ₀+ d    х

3) если  при х Î U (х ₀,d) или  при х Î U (х ₀,d), то в точке х ₀ функция f (х) не имеет локального экстремума.

                                           + +

                                 х ₀– d  х ₀ х ₀+ d    х

                                           – –

                                 х ₀– d  х ₀ х ₀+ d    х

     Следствие   Правило отыскания экстремума функции:

1. Найти D (f) – область определения функции f (х).

2. Найти критические точки:

а) стационарные точки (где производная равна нулю);

б) точки, где функция f (х) недифференцируема.

3. Исследовать знак производной функции f (х) в окрестности каждой из этих точек, и сделать вывод о существовании экстремума.

Замечание Результаты исследования целесообразно оформлять в виде таблицы.

Пример     Исследовать на монотонность и экстремум функцию у = х ⁴ – 2 х ² +1.

1) D (f) = R.        2) , .

       3)

х	(-¥;-1)	-1	(-1;0)	0	(0;1)	1	(1;+¥)
	–	0	+	0	–	0	+
f (х)		0		1		0

  лок.min                 лок.max                 лок.min

       Пример     Исследовать на монотонность и экстремум функцию .

1) D (f)= R.       2) .

Ни при каких значениях переменной х производная не равна нулю, следовательно стационарных точек нет. При х = 0, производная  не существует, но х =0Î D (f), следовательно х = 0 – критическая точка.

х	(-¥;0)	0	(0;+¥)
	–	не существует	+
f (х)		0 лок.min

                                                                   у

 

 

О                х

Теорема 3 Второе достаточное условие существование экстремума. Пусть функция f (х) определена и дифференцируема в некоторой окрестности точки х ₀ и , тогда, если f (х) имеет в точке х ₀ вторую производную отличную, от нуля, то f (х) имеет в точке х ₀

1. локальный минимум, если ;      2. локальный максимум, если .

Замечание Второй достаточный признак существования экстремума имеет более узкий круг применения. Его нельзя использовать для определения существования экстремума функции в тех точках, где функция не имеет второй производной или .

Следствие Правило отыскания экстремума функций, для которых выполняются условия теоремы 3:

1. Найти область определения функции D (f).

2. Найти стационарные точки.

3. Вычислить  для стационарных точек.

4. Для стационарных точек определить знак второй производной и сделать вывод о характере локального экстремума.

Пример     Исследовать на экстремум функцию    .

1) D (f)= R.   2)         при х = 1, следовательно х = 1 – стационарная точка.

3) .

4) <0, следовательно точка х = 1 является точкой максимума .