Необходимое и достаточное условие экстремума функции в точке

Применение дифференциального исчисления к исследованию функций

Условие монотонности функции на числовом промежутке

Теорема 1 Необ х одимое и достаточное условие невозрастания (неубывания) функции на числовом промежутке

Пусть функция f (х) непрерывна на числовом промежутке Х , тогда, для того, чтобы функция f (х) была невозрастающей (неубувающей) на промежутке Х, необходимо и достаточно, чтобы ()

для всех внутренних точек этого промежутка.

Замечание Аналогично можно доказать условие постоянства функции на числовом промежутке Х, которое заключается в равенстве нулю ее производной для " х Î Х, т.е. .

Теорема 2 Достаточное условие возрастания (убывания) функции. Если функция f (х) непрерывна на числовом промежутке Х и имеет положительную (отрицательную) производную во всех внутренних точках этого промежутка, за исключением конечного числа точек, в которых конечная производная не существует или конечная производная равна нулю, то функция f (х) возрастает (убывает) на промежутке Х.

Доказательство этого утверждения состоит из двух этапов:

1) устанавливается возрастание функции f (х) на каждом из промежутков, на которые делится промежуток Х указанными в теореме точками (где не существует, либо равна нулю);

2) в силу непрерывности функции f (х) на промежутке Х устанавливается ее возрастание (убывание) на всем промежутке Х.

Пример	0	(не убывает)
		(не возрастает)
		(возрастает)
существует при " х Î Х		(убывает)
	и - у конечного числа точек	(возрастает)
	- у конечного числа точек	(убывает)
Не существует		(возрастает)
у конечного числа точек		(убывает)

Необходимое и достаточное условие экстремума функции в точке

Определение Точка х ₀ из D (f) называется точкой строгого локального максимума (минимума) функции f (х), если для всех х из некоторой d – окрестности U (х ₀,d) точки х ₀, х ¹ х ₀, выполняется неравенство

f (х) < f (х ₀) [ f (х) > f (х ₀)] (1)

Точки локального максимума и локального минимума называются точками локального экстремума.

Значения функций в этих точках называются соответственно локальным максимумом или локальным минимумом (локальными экстремумами функции).

Из определения следует, что понятие экстремума носит локальный характер в том смысле, что в случае экстремума неравенство (1) не обязательно выполняется для всех х Î D (f), а лишь в некоторой окрестности U (х ₀,d) точки х ₀.

Т.о., функция может иметь несколько локальных максимумов (минимумов), причем может оказаться, что локальный максимум меньше, чем локальный минимум.

У ^лок. ^max

лок. max лок. min

лок. min

О х

Теорема 1 Необходимое условие существование экстремума Если функция определена в некоторой окрестности точки х ₀ и имеет в ней локальный экстремум, тогда эта функция

1) либо дифференцируема в точке х ₀ и ,

2) либо недифференцируема в точке х ₀.

Пример В точке х ₀= 0 функция недифференцирума, но имеет локальный минимум.

Замечание Условия теоремы 1 являются лишь необходимыми условиями существования экстремума.

Следствие Из теоремы 1 вытекает, что точки локального экстремума функции следует искать среди корней уравнения и точек, где производная не существует.

Точки, в которых производная не существует или равна нулю называются критическими точками первого рода или точками подозрительными на экстремум.

Точки, для которых выполняется условие , называются стационарными.

Пример1. Для функции y ₁= х ³ при х =0, но в этой точке данная функция экстремума не имеет.	у y ₁= х ³ О х
2. Для функции производная не существует при х = 0, но в этой точке экстремума нет.	х