Задача 2.3. Точность и устойчивость метода Эйлера

Для изучения точности метода Эйлера можно воспользоваться аналитическим решением дифференциального уравнения.

  T(t) = T_s - (T_s - T₀) exp^{- r t},                                                           (2.7)

Заметим, что T(t=0) = T_s -(T_s-T₀) = T₀, а T(t ® ¥) = T_s.

а). С помощью программы Сool вычислите температуру в момент t=1 мин с шагами Δt = 0.1, 0.05, 0.025, 0.01, 0.005. Выберите значение коэффициента r, соответствующее реальному процессу. Постройте таблицу, содержащую разность между точныым и численным решениями уравнения (2.7) как функцию Δt. Будет ли эта разность убывающей функцией Δt? Если шаг уменьшить в 2 раза, как изменится разность? Нарисуйте график разности как функцию Δt.  В случае, когда точки приблизительно расположены на убывающей прямой, разность пропорциональна Δt (при Δt «1). Если разность между аналитическим и численным решениями при заданном значении t пропорциональна (Δt)ⁿ, численный метод называется методом n -порядка точности. Какой порядок точности у метода Эйлера?

б). Какой необходимо выбрать величину шага Δt, чтобы достигалась точность 0,1% в момент времени t =5?

в). Один из методов определения точности численного решения заключается в повторении вычислений с меньшим шагом и сравнении результатов. Если в обоих результатах совпадают n десятичных цифр, то можно предположить,  что будет совпадать и большее число десятичных знаков.