Использование компьютеров

Дисциплина «Математическое моделирование»

Лабораторная работа

Рассматривается применение метода Эйлера для численного решения дифференциальных уравнений первого порядка, на примере уравнения теплопроводности и уравнений движения Ньютона. Содержится теоретический материал, методы решения соответствующих задач, листинги программ, задачи и контрольные вопросы.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Задачи лабораторного практикума - познакомить студентов с различными методами математического моделирования (метод Эйлера, молекулярная динамика,  Монте-Карло и т.д.), используя для этой цели простые, но реалистичные в научном плане задачи, а также научить на конкретных примерах методам структурного программирования.

 

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Использование компьютеров 

Говоря об использовании компьютеров, можно выделить четыре категории:

1. Численный анализ.

2. Аналитические (символьные) преобразования.

3. Моделирование.

4. Управление в реальном времени.

В численном анализе вычислениям предшествует выяснение упрощающих физических принципов. Например, мы знаем, что решение многих физических задач может быть сведено к решению системы линейных уравнений или дифференциальным уравнениям, которые имеют аналитические решения.

Большое значение приобретают пакеты программ для аналитических преобразований. Например, мы хотим узнать решение квадратного уравнения ах² + bх+ с = 0. Программа аналитических преобразований может выдать решение в виде формулы х = . Кроме того, такая программа может выдать решения в обычной числовой форме для конкретных значений а, в и с. С помощью типичной программы аналитических преобразований можно выполнять такие математические операции, как дифференцирование, интегрирование, решение уравнений и разложение в степенной ряд (Инженерные пакеты Matchad,  Matlab, Octave, Maple, MS EXCEL).

Иногда численное моделирование называют вычислительным экспериментом, поскольку оно имеет очень много общего с лабораторными экспериментами. Некоторые аналоги показаны в табл.1. Отправным пунктом численного моделирования является разработка идеализированной модели рассматриваемой системы. Затем необходимо определить процедуру или алгоритм для реализации модели на компьютере. Компьютерная программа моделирует систему и описывает вычислительный эксперимент. Такой вычислительный эксперимент служит мостом между лабораторными экспериментами и теоретическими расчетами.

 

Таблица 1

Аналогии между вычислительным и лабораторным экспериментами.

Лабораторный эксперимент	Вычислительный эксперимент
Образец	Математическая модель
Физический прибор	Программа для компьютера
Калибровка	Тестирование программы
Измерение	Расчет
Анализ данных	Анализ данных

 

Например, мы можем получить по существу точные результаты, моделируя идеализированную модель, у которой нет никакого лабораторного аналога. Сравнение результатов моделирования с соответствующими теоретическими расчетами служит стимулом развития вычислительных методов. С другой стороны, можно проводить моделирование на реалистичной модели с тем, чтобы осуществить более прямое сравнение с лабораторными экспериментами.

Численное моделирование, как и лабораторные эксперименты, не заменяет размышление. Но цель всех исследований фундаментальных явлений  - поиск таких объяснений физических явлений, которые можно записать на обратной стороне конверта или которые можно представить на пальцах!

 

Важность графики

  Известно, что визуальное представление сложных численных результатов имеет большую важность. Человеческий глаз вместе со способностью мозга к обработке изображений представляет собой очень сложное устройство для анализа видео-информации. Большинство из нас могут очень быстро провести наилучшую прямую линию через последовательность экспериментальных точек. Наш глаз способен выделить структуры и тренды, быть может, сразу не заметные из таблиц данных, или обнаружить изменения во времени, которые могут привести к пониманию важных механизмов, лежащих в основе поведения системы.

Использование графических средств может улучшить наше понимание характера аналитических решений. Например, как вы представляете себе функцию синус? Вряд ли вы ответите, что это ряд, т.е. ; скорее вы скажете, что это график периодической функции постоянной амплитуды (рис.1.1).

Рис.1. График функции синус.

Здесь важно наглядное представление формы функции.