Исследование функции методами дифференциального исчисления

Точки локального экстремума:

Определение: Точка х₀ называется точкой локального максимума(минимума) функции f(x), если для любого   в некоторой окрестности точки х₀ выполнено неравенство 

                                      .

Необходимое условие экстремума:

Теорема: Если дифференцируемая функция y=f(x) имеет экстремум в точке x₀, то ее производная в этой точке ровна нулю:   

                                                                 f ^/(x₀) = 0.

Достаточное условие экстремума: Если непрерывная функция y = f(x) дифференцируема в некоторой б - окрестности критической точки x₀ и при переходе через нее (слева направо) производная f ’(x) меняет знак с плюса на минус,то x₀ есть точка максимума; если с минуса на плюс, то x₀ точка минимума.

Правило нахождения наибольшего и наименьшего значение функции на [a; b].

1). Найти критические точки функции на интервале (a; b), из условия f ^/(x)=0

2). Вычислить значения функции в найденных критических точках;

3). Вычислить значения функции на концах отрезка, т.е. в точках x=a, x=b.

4). Среди всех вычисленных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Если функция y=f(x) во всех точках интервала (a; b) имеет вторую производную, т.е.

f ^//(x)<0 то график функции в этом интервале выпукл вверх (рис.1.).

 Y                 y=f(x)