План
· Диференціал дуги
· Кривизна плоскої кривої
· Векторна функція скалярного аргументу
· Кривизна плоскої кривої
· Кривизна просторової кривої
· Кручення просторової лінії
· Формули Серре-Френе
Диференціал кривої
Поняття довжини кривої буде розглянуто в розділі інтегрального числення. Криві, для яких можна установити поняття довжини, називають в математичному аналізі спрямними.
Умова спрямності кривої для плоскої кривої, заданої параметричними рівняннями , полягає в такому: на спрямному відрізку кривої функції і мусять мати неперервні похідні за параметром : . Аналогічною є умова спрямності просторової кривої, заданої рівняннями ; вона полягає в неперервності похідних .
Для всякої спрямної кривої як просторової, так і плоскої, наслідком її спрямності є така геометрична властивість: границя відношення нескінченно малої дуги кривої до стягуючої її хорди дорівнює одиниці за умови, що хорда стикується в точку.
Якщо довжину малої дуги кривої позначити через , а довжину відповідної хорди – через (рис. 7.4), то
|
|
(7.4)
Виходячи саме з цієї властивості, знайдемо вирази для диференціала дуги як плоскої, так і просторової кривої.
На плоскій спрямній кривій, рівняння якої ,
візьмемо дві сусідні точки. та , що
відповідають значенням параметра та (рис. 7.2).
Довжина хорди знаходиться за формулою
(7.5)
Похідна від довжини дуги кривої за параметром :
.
Замінимо його виразом за формулою (7.5):
.
Отже,
. (7.6)
Звідси
. (7.7)
Якщо крива задана рівнянням , то можна прийняти за параметр кривої: .
Диференціал дуги
Якщо крива задана рівнянням в полярних координатах , то за параметр кривої можна прийняти полярний кут .
Диференціюємо по рівності
Маємо
.
Звідси
,
тому
. (7.9)
Рис.7.4 Рис.7.5
Приклади.
1. Знайти диференціал дуги циклоїди
.
Р о з в ’ я з о к. .
.
2. Знайти диференціал дуги кардіоїди .
Р о з в ’ я з о к. ,
.
Диференціал дуги просторової кривої, заданої параметричними рівняннями , можна знайти аналогічно.
Відміна від попереднього полягає лише в тому, що довжина хорди, яка з’єднує точки просторової кривої і визначається за формулою
.
Формула диференціала дуги просторової кривої
. (7.10)
Приклад. Знайти диференціал дуги гвинтової лінії:
.
Р о з в ’ я з о к. .
.
Формулам (7.9) і (7.10) часто надають такого вигляду:
(для плоскої кривої); (7.11 (для просторової кривої); (7.12)
Диференціал дуги плоскої кривої має такий геометричний зміст: він дорівнює довжині відрізка дотичної до кривої (рис.7.5).
Кривизна плоскої кривої
Вивчаючи ту чи іншу криву, бачимо, що в різних точках вона має неоднаковий ступінь викривлення. Так, парабола поблизу початку координат більше викривлена, ніж в точках, які знаходяться далі від початку координат. Коло в усіх своїх точках має однакове викривлення. Різні криві також відрізняються одна від одної своїм ступенем викривлення. Коло малого радіуса більше викривлено, ніж коло великого радіуса.
|
|
Виникає запитання: що ж брати за міру кривизни кривої в її окремих точках? Щоб відповісти на нього, припустимо, що до кривої в кожній точці можна провести дотичну і що крива є спрямлюваною.
Візьмемо на кривій дві точки і (рис. 7.6) і в цих точках проведемо дотичні прямі. Нехай дотична утворює з додатним напрямом осі кут , а пряма - кут .
Довжину дуги позначимо . Модуль відношення , де - величина кута в радіанах, на який повертається дотична, коли точка переміститься вздовж кривої в точку , називається середньою кривизною дуги .
Рис.7.6
Означення. Границя (якщо вона існує) середньої кривизни дуги даної кривої, коли точка наближається вздовж кривої до точки , називається кривизною кривої в точці і позначається
. (7.13)
Виведемо формулу для обчислення кривизни. Нехай крива задана в декартовій системі координат рівнянням
,
де функція на відрізку має похідні до другого порядку включно.
Скористаємося формулою (7.13). Очевидно, що коли точка , то довжина дуги . Тому формулу (7.13) можна
записати ще так:
. (7.14)
З другого боку, якщо - кут, утворений дотичною до кривої в точці з додатним напрямом осі , то
.
Звідси
.
Тоді
.
Підставляючи в формулу (7.14) значення і значення , дістаємо формулу для кривини кривої:
. (7.15)
З цієї формули легко дістати формулу для кривизни кривої,
коли остання задана параметричними рівняннями . Справді,
,
.
Тоді, підставляючи значення у формулу (7.15), маємо
. (7.16)
Якщо крива задана в полярній системі координат рівнянням , то
. (7.17)
Величину, обернену до кривої в заданій точці, називають радіусом кривизни кривої і позначають через :
. (7.18)
Коло, яке з даною кривою має в даній точці спільну дотичну, спільну кривизну і однаковий напрямок вгнутості, називається колом кривизни, а його центр – центром кривизни кривої в даній точці. Радіус кола кривизни
.
Для всіх плоских кривих (за винятком кола) центри кривизни різні в різних точках кривої. Геометричне місце центрів кривизни даної кривої називається її еволютою, а сама крива по відношенню до еволюти називається евольвентою.