Кривизна просторової кривої

Зміна напрямку одиничного вектора дотичної до просторової кривої (вектора ) пов’язана із зміною напрямку дотичної до просторової кривої і характеризує кривизну кривої. За міру кривизни приймемо границю відношення кута суміжності (кута повороту дотичної ) до довжини відповідної дуги, коли остання прямує до нуля:

, (7.29)

де - кривизна, - кут суміжності, - довжина дуги. З іншого боку, оскільки - одиничний вектор, то перпендикулярний до нього. Модуль вектора пов’язаний з обертанням вектора формулою

. (7.30)

. (7.31)

Величина, обернена до кривизни, називається радіусом кривизни лінії в даній точці і позначається через тобто

Вектор назвемо вектором кривизни просторової кривої, його напрямок, перпендикулярний до напрямку дотичної, є напрямком нормалі до просторової кривої. Але просторова крива має в кожній точці не одну, а нескінченну множину нормалей, які всі лежать в площині, що проходить через дану точку кривої і перпендикулярну до дотичної до кривої. Цю площину назвемо нормальною площиною просторової кривої. Та із нормалей кривої, по якій напрямлений вектор кривизни кривої в даній точці, називається головною нормаллю просторової кривої. Отже, введений нами вектор - одиничний вектор головної нормалі.

Побудуємо в даній точці просторової кривої третій одиничний вектор , який дорівнює векторному добутку векторів та :

.

Вектор , так само як і , лежить в нормальній площині; його напрямок називають напрямком бінормалі просторової кривої в даній точці.

Три вектори та складають трійку взаємно перпендикулярних одиничних векторів, напрямок яких пов’язаний з вибором точки на просторовій кривій і змінюється від точки до точки. Ці три вектори утворюють тригранник, який називається супровідним тригранником (тригранник Френе) просторової кривих (рис. 7.8). Взаємна орієнтація векторів та - така сама, що і в координатних векторів .

Рис.7.8 Рис.7.9

Взяті попарно вектори визначають три площини, які проходять через дану точку просторової кривої і складають границі супровідного тригранника (рис. 7.9).

Площина, яка містить вектори та , називається нормальною площиною; площина, що містить вектори і , співдотичною площиною просторової кривої; площина, яка містить вектори та - її спрямною площиною.