Основные теоремы о пределах

* Функция не может иметь более одного предела.

* Пусть заданные на одном и том же множестве функции  и  имеют в точке  пределы соответственно  и . Тогда функции

,  и  (при )

имеют в точке а пределы, равные соответственно:

,  и .

 

 

Признаки существования предела последовательности

*Если числовая последовательность  монотонна и ограничена, то она имеет предел.

*Если в некоторой окрестности точки x0 (или при достаточно больших значениях x) функция f(x) заключена между двумя функциями j(x) и y(x), имеющими одинаковый предел A при  (или ), то функция f(x) имеет тот же пр.

 

 

Сравнение б.м. и б.б. функций

Две б.м. функций сравниваються между собой с помощью их отношения(сумма, разность и произведение).

Рассмотрим правило сравнения б.м. функций:

*Пусть при х®х0 функции a(х) и b(х) являються б.м., т.е. Lima(х){при х®х0}=0 и Limb(х){при х®х0}=0, тогда Правила:1)Если Lima(х)/b(х){при х®х0}=0, то a(х) – б.м. более высокого порядка, чем b(х). 2)Если Lima(x)/b(х){при х®х0}=А¹0, то a(х) иb(х) – б.м. одного порядка. 3)Если Lima(х)/b(х){при х®х0}=1, то a(х) и b(х) – эквивалентные б.м.. Иногда нужно оценивать как высок порядок б.м. более высокого порядка, поэтому 4)Если Lima(х)/ (х){при х®х0}=А¹0, то a(х) – б.м. n-го порядка относительно b(х)

Замечания: Для сравнения б.м. функций, при х®∞, х®+\-∞, х®х0+\-. Существует аналогичное правило.

 

 

Замечательные пределы

* 1-й замечательный предел.

Возьмем круг радиуса 1, обозначим

радианную меру угла MOB через Х.

Пусть 0 < X < π/2. На рисунке |АМ| = sin x, дуга МВ численно равна центральному углу Х, |BC| = tg x. Тогда

Разделим все на и получим:

Т.к. , то по признаку существования пределов следует .

* 2-й замечательный предел.

Пусть х→∞. Каждое значение х заключено между двумя положительными целыми числами:

Если x→∞, то n→∞, тогда

По признаку о существовании пределов: