Классификация точек разрыва

Разрывы функции

1. Точки, где функция f(x) не является непрерывной, называются точками разрыва функции f(x).

Для классификации точек разрыва рассмотрим предел слева  и предел справа  функции f(x). Тогда имеет место следующая классификация точек разрыва.

* Устранимый разрыв.

 Он имеет место, когда выполнено условие

.

 В данном случае достаточно изменить значение функции в точке x0, чтобы разрыва не стало.

* Разрыв первого рода (скачок).

 Разрыв первого рода (скачок) получается тогда, когда односторонние пределы  и  существуют, конечны, но не равны между собой, то есть .

* Разрыв второго рода.

 Если хотя бы один из  и  равен ¥± или не существует, то говорят, что функция f(x) имеет в точке x0 разрыв второго рода.

 Вид разрывов второго рода очень разнообразен. Пример такого разрыва приведен на рис. 2.3. На нем изображен случай, когда f(x0 – 0) конечен, а f(x0 + 0) равен +¥.

Геометрический смысл производной.

KN=Dy, MK=Dx

DMNK/tg2=Dy/Dx

вычислим предел левой и правой части:

limtga=lim(Dy/Dx) Dx®0

tga₀=y`

a®a₀

При Dx®0 секущая MN®занять положение касательной в точке M(tga₀=y`, a®a₀)

Геометрический смысл производной заключается в том, что есть tg угла наклона касательной, проведенной в точке x₀.