Пример решения задачи 1

Анализируем схему заданной балки (рис. 2). Она составная и статически определимая, так как степень статической неопределимости

N = R – S – H = 5 – 3 – 2 = 0,

где R – количество реакций в опорах балки;

S – число возможных уравнений статики для плоской системы;

H – число промежуточных шарниров на балке.

Рис. 2. Расчетная схема заданной балки.

Следовательно, для упрощения расчета такой балки следует составить ее поэтажную схему (рис. 6, б).

Определяем опорные реакции для простых балок, принятых из поэтажной схемы (рис.3,4,5).

Балка ЕД.

Рис. 3. Расчетная схема простой балки ЕД.

SМ_Е = 0; F×c – R_Д (с + f) = 0;

SМ_Д = 0; F×f – R_Е (с + f) = 0;

Балка NС.

Рис. 4. Расчетная схема простой балки NС.

SМ_N = 0;

SМ_C = 0;

Балка АВ.

SМ_А = 0;

Рис. 5. Расчетная схема простой балки АВ.

SМ_В = 0;

Строим эпюры М и Q, причем эпюру изгибающих моментов будем строить со стороны растянутых волокон балки.

Это можно выполнить двумя путями: либо рассматривать заданную (нерасчлененную) схему многопролетной балки, показав на ней полученные ранее значения и направления опорных реакций, либо строить эпюры Q и М для простых балок из поэтажной схемы на одной базовой линии (см. рис. 6).

Сечение 1-1 0 £ х₁ £ 3 м;

Q_1-1 = – R_A; Q_1-1 = – 2,8 кН.

М_1-1 = – R_A×х₁; М х₁₌₀ = 0; М х_{1 = 3} = – 8,4 кНм.

Сечение 2-2 3 м £ х₂ £ 6 м;

Q_2-2 = – R_A + R_B – q×(х₂ – 3);

Q х_{2 = 3} = – 2,8 + 16,1 = 13,3 кН;

Q х_{2 = 6} = – 2,8 + 16,1 – 10×3 = – 16,7 кН.

М х_{2 = 3} = – 8,4 кНм;

– R_A + R_B – q×(x₃ – 3) = 0;

х₃ = 4,33 м.

Сечение 3-3 0 £ х₃ £ 2 м;

Q_3-3 = – R_Д = – 6,7 кН.

М_3-3 = R_Д×х₃; М х_{3 = 0} = 0; М х_{3 = 2} = 13,3 кНм.

Сечение 4-4 2 м £ х₄ £ 4 м;

Q_4-4 = – R_Д + F; Q_4-4 = 13,3 кН.

М_4-4 = R_Д×х₄ – F×(х₄ – 2);

М х_{4 = 2} = 13,3 кНм; М х_{4 = 4} = 6,7×4 – 20×2 = – 13,5 кНм.

Строим линии влияния опорных реакций, а также линии влияния М и Q в заданном сечении m–m (рис. 7).

При построении линий влияния следует учитывать то обстоятельство, что движение единичного груза по простым балкам поэтажной схемы действует на изменение искомых силовых факторов (реактивных или внутренних) по-разному, в зависимости от того, где расположено заданное сечение – на основной балке или на вспомогательной.

Рис. 6. Расчетные схемы балки, эпюры Q и M.

Рис. 7. Линии влияния опорных реакций и внутренних

силовых факторов Q и M в сечении m-m балки.

Загружаем построенные линии влияния заданной внешней нагрузкой и находим значение реакций, а также значения Q_m и М_m. Все силовые факторы, и внешние и внутренние, определяют по линиям влияния с помощью выражения

S_i = S(q×w_i + F×у_i),

где w_i – площадь участка линии влияния, расположенного под распределенной нагрузкой q;

у_i – ордината линии влияния, расположенная под сосредоточенной силой F.

Задача 2. Рассчитать плоскую балочную ферму на подвижную и неподвижную нагрузки, принятую по данным табл. 2 и схемы, показанной на рис. 8, 9, 10.

Алгоритм решения задачи:

1. построить линии влияния усилий в стержнях для указанной панели (счет начинать с единицы) фермы, считая слева (отсчет панелей вести по поясу, по которому движется груз). Пояс, по которому движется груз, отмечен на схеме пунктиром;

2. для построенных линий влияния усилий определить критическое положение нагрузки и вычислить значение усилий в этих стержнях;

3. из линий влияния усилий, рассмотренных в пункте 2, выбрать линию влияния, дающую большее усилие, сохранить на ферме критическое положение грузов для получения этого усилия и разнести их на ближайшие узлы пояса, по которому грузы передвигаются;

4. для фермы с узловыми нагрузками, полученными по пункту 3, построить диаграмму Максвелла-Кремоны и определить по ней усилия во всех стержнях фермы;

5. сравнить усилие, вычисленное в стержне, выбранном согласно пункту 3, с усилием, полученным в нем же по диаграмме Максвелла-Кремоны. Схема нагрузки представлена на рис. 8.

Т а б л и ц а 2. Исходные данные к задаче 2

Номер строки	Длина панели d, м	Высота фермы h, м	Номер панели	Номер расчетной схемы
0	8	4	3	0
1	6	5	4	1
2	7	6	5	2
3	6	4	3	3
4	8	5	4	4
5	5	5	3	5
6	4	6	2	6
7	7	4	4	7
8	6	6	3	8
9	8	5	5	9
***	б	а	б	в