Раздел 2. Парная регрессия

Тема 2.1. Метод наименьших квадратов (1 занятие)

Вопросы для изучения

1. Спецификация модели парной регрессии.

2. Оценки параметров линейной регрессии. Метод наименьших квадратов (МНК).

3.  Предпосылки МНК и свойства МНК-оценок.

4.  Нелинейная парная регрессия, ее линеаризация и применение.

Контрольные вопросы

1. Что такое функция регрессии?

2. Чем регрессионная модель отличается от функции регрессии?

3. Назовите основные причины наличия в регрессионной модели случайного отклонения.

4. Как осуществляется спецификация модели?

5. В чем состоит различие между теоретическим и эмпирическим уравнениями регрессии?

6. В чем суть метода наименьших квадратов?

7. Приведите формулы расчета коэффициентов эмпирического парного линейного уравнения регрессии по МНК.

8. Перечислите предпосылки МНК. Каковы последствия их выполнимости или невыполнимости?

9. Какой нелинейной функцией может быть заменена парабола второй степени, если не наблюдается смена направленности связи признаков?

10. Перечислите виды моделей, нелинейных относительно: а) включаемых переменных; б) оцениваемых параметров.

11.  Как определяются коэффициенты эластичности по разным видам регрессионных моделей?

12. Каков смысл коэффициентов регрессии в логарифмических регрессионных моделях?

Практические задания

Задача 1*.  По 12 регионам России приводятся данные о среднедушевомпрожиточном минимуме в день одного трудоспособного  (руб.) и среднедневной заработной плате  (руб.) (табл.2.1):

Таблица 2.1

Номер региона	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
руб	78	82	87	79	89	106	67	88	73	87	76	115
руб	133	148	134	154	162	195	139	158	152	162	159	173

 

Задание:

1) построить поле корреляции и сформулировать предложение о форме связи переменных  и .

2) построить уравнение линейной и степенной парной регрессии; определить для них коэффициент и индекс детерминации, среднюю относительную ошибку аппроксимации сравнить полученные модели по точности.

Задача 2*.

Имеются следующие данные об уровне механизации работ  (%) и производительности труда  (т/ч) для 14 однотипных предприятий (табл.2.2):

Таблица 2.2

	32	30	36	40	41	47	56	54	60	55	61	67	69	76
	20	24	28	30	31	33	34	37	38	40	41	43	45	48

 

Задание:

1) для характеристики зависимости  от  построить уравнение регрессии:

а) линейной;

б) степенной;

в) показательной;

г) равносторонней гиперболы;

д) экспоненциальное.

2) оценить каждую модель через среднюю относительную ошибку аппроксимации.

Задача 3*.   Для 13 клиентов спортивного отдела магазина зафиксирована сумма покупки  (в у.е.) и время разговора с продавцом  (мин) (табл.2.3):

Таблица 2.3

	40	50	60	80	100	110	120	130	150	160	180	200	310
	14	14	17	19	17	20	24	22	25	24	18	20	26

 

Задание:

1) оценить с помощью МНК параметры линейного уравнения регрессии, предположив, что  объясняется переменной ;

2) оценить с помощью МНК параметры линейного уравнения регрессии, предположив, что x объясняется переменной y;

3) построить обе линии регрессии на корреляционном поле и объяснить, почему, как правило, получаются различные уравнения регрессии.

Задача 4*. Имеются данные за 10 лет по прибылям  и  (%) двух компаний (табл.2.4):

Таблица 2.4

	19,2	15,8	12,5	10,3	5,7	-5,8	-3,5	5,2	7,3	6,7
	20,1	18,0	10,3	12,5	6,0	-6,8	-2,8	3,0	8,5	8,0

 

Задание:

1) построить линейную регрессию  на  при наличии свободного члена;

2) определить коэффициент детерминации данного уравнения;

3) построить линейную регрессию  на  при отсутствии свободного члена;

4) вычислить коэффициент детерминации для второго уравнения регрессии.

Задача 5. Имеется классическое линейное однофакторное уравнение регрессии, параметры которого оценены обычным МНК по выборке объема 100:

.

Задание: доказать, что 0.

Задача 6. Предложить аналитическую форму модели  по следующим данным (табл.2.5):

Таблица 2.5

	74	62	51	35	28	20	15	8	10
	2,2	2,2	2,3	2,4	2,6	2,9	3,2	3,6	4,0

 

Задача 7. При исследовании корреляционной зависимости между ценой на нефть X и индексом нефтяных компаний Y получены следующие данные: 16,2; 4000; 4; 40.

Задание: построить линейное уравнение регрессии Y на X.

Задача 8.   По следующим данным (табл.2.6):

Таблица 2.6

	2	2	5	5	10
	0,1	0,2	0,5	0,5	1

 

построена модель

.

Задание: рассчитать среднюю относительную ошибку аппроксимации.

Задача 9. На основе данных (табл.2.7):

 

Таблица 2.7

	20	21	23	26	29
	5	8	11	12	14

 

оценены параметры двух моделей:

     - показательной ;

     - степенной .

Задание: при помощи средней относительной ошибки аппроксимации оценить, какая модель лучше соответствует эмпирическим данным?

Задача 10.   Могут ли следующие уравнения быть преобразованы в уравнения, линейные по параметрам?

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Задача 11. Предполагается, что модель  удовлетворяет условиям классической регрессии. Рассматривается следующая оценка коэффициента :

.

Задание: доказать, что данная оценка является несмещенной.

Задача 12. С помощью МНК оценить параметр регрессии  однофакторного уравнения

по следующим наблюдениям (табл.2.8):

Таблица 2.8

	1,000	0,500	0,500	0,400	0,400	0,333	0,250	0,200	0,125	0,100
	1	2	3	3	4	4	5	7	9	12

 

Задача 13. По выборке объема 10 получены следующие данные:

100; 200; 21000; 12000; 45000.

Задание: С помощью МНК оценить параметры линейного уравнения регрессии, найти выборочный коэффициент корреляции .

Задача 14. Изучалась зависимость вида . Для преобразованных в логарифмах переменных получены следующие данные:

8,2370; 3,9310; 4,2087; 9,2334; 10.

Задание: найти параметры .

Рекомендуемая литература

1. Бородич С. А. Эконометрика: учебное пособие. -Мн.: Новое знание, 2006.- Гл. 4, 5.

2. Практикум по эконометрике: учебное пособие./ Под ред. И. И. Елисеевой.- М.: Финансы и статистика, 2007. –  Раздел 1.

3. Эконометрика: учебник / Под ред. И. И. Елисеевой. 2-е изд.-М.: Финансы и статистика, 2005.- Гл. 2.