Тема 1.2. Основные понятия теории вероятностей и статистики, применяемые в эконометрике (2 занятия)

Содержание

Тема 1.1. Эконометрика как научная дисциплина. 5

Тема 1.2. Основные понятия теории вероятностей и статистики, применяемые в эконометрике. 13

Тема 2.1. Метод наименьших квадратов. 25

Тема 2. 2. Экономическая и статистическая интерпретация модели парной регрессии 31

Тема 3.1. Линейная модель множественной регрессии. 42

Тема 3.2. Оценка качества модели множественной регрессии. 46

Тема 3.3. Мультиколлинеарность. 55

Тема 3.4. Гетероскедастичность. 57

Тема 3.5. Автокорреляция. 64

Тема 3.6. Фиктивные переменные. 70

Тема 3.7. Ошибки спецификации. 77

Тема 4.1. Характеристики временных рядов. 81

Тема 4.2. Стационарные и нестационарные временные ряды.. 90

Тема 4.3. Динамические эконометрические модели. 98

Тема 5.1. Понятие о системах эконометрических уравнений. 105

Тема 5.2. Методы оценки системы одновременных уравнений. 111

Приложение 1. 119

Приложение 2. 120

Приложение 3. 121

Введение

Методическая разработка подготовлена в соответствии с программой курса «Эконометрика» и требованиями действующего Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования для экономических специальностей и предназначена для студентов дневной формы обучения.

Цель методической разработки – помочь студентам в освоении эконометрических методов и их применении в анализе социально-экономических процессов, в овладении навыков построения эконометрических моделей на основе реальных данных, приобретении навыков прогнозирования результатов эконометрических исследований, разработке и принятии на их основе аргументированных решений.

При проведении практических занятий основное внимание направлено на развитие навыков самостоятельного решения задач. Для подготовки к практическим занятиям студентам необходимо изучить предлагаемые по теме вопросы и подготовить ответы на контрольные вопросы. Одна из целей проведения практических занятий – научить студентов использовать при решении задач возможности MS Excel.

Эконометрика опирается на массивы данных и достаточно сложные расчеты, поэтому ряд практических занятий проводится в компьютерных классах в целях обучения студентов навыкам по использованию компьютеров в эконометрическом анализе, овладения методами научного анализа статистической информации. При решении таких задач рекомендуется использовать MS Excel, STATGRAPHICS, STATISTICA, MathCAD.

Задачи, предназначенные для решения с использованием компьютера, отмечены в методической разработке символом (*).

В приложениях содержатся статистико-математические таблицы, необходимые при решении задач.

Основная часть

Раздел 1. Введение в эконометрику

Тема 1.1. Эконометрика как научная дисциплина (1 занятиe)

Вопросы для изучения

1. Определение эконометрики. Цели, предмет, задачи эконометрики. Место эконометрики в экономических дисциплинах.

2. Типы моделей и данных.

3. Стадии эконометрического моделирования.

Контрольные вопросы

1. Что измеряет эконометрика?

2. Назовите основные цели эконометрики.

3. В чем состоит предмет эконометрики?

4. Перечислите задачи эконометрики?

5. Какие типы моделей и переменных применяют в эконометрике?

6. В чем особенности перекрестных и панельных данных?

7. В чем особенности временных рядов?

8. Что понимается под спецификацией модели.

9. Что такое параметризация?

10. Что понимается под верификацией модели?

11. В чем основное отличие эконометрической модели от математической?

Практические задания

Задача 1. Среди покупателей-мужчин 80% предпочитают напитки фирмы А, а среди покупателей-женщин эти же напитки предпочитают 50%. На основе многомесячных наблюдений установлено, что доля покупателей-женщин в данном магазине составляет 60%.

Задание: оцените вероятность того, что случайный покупатель предпочтет напитки фирмы А.

Задача 2. Семь из десяти посетителей кафе заказывают к кофе фирменное пирожное. Два человека заказывают кофе.

Задание: какова вероятность того, что они закажут: а) два пирожных; б) одно пирожное; в) ни одного?

Задача 3. Брокер может приобрести акции одной из трех компаний А, В, С. Риск прогореть при покупке акций компании А составляет 50%, В - 40%, С - 20%. Брокер решает вложить все деньги в акции одной случайно выбранной компании.

Задание: какова вероятность того, что брокер прогорит?

Задача 4. Совет директоров компании состоит из 12 человек; 3 из них лоббируют проект А, 5 - проект В. Остальные склонны инвестировать деньги в проект С. Решение об инвестировании будет принимать большинством голосов комиссия, состоящая из 5 выбранных жребием директоров.

Задание: какова вероятность принятия решения в пользу проекта В?

Задача 5. Среди 10 000 лотерейных билетов 10 % являются выигрышными.

Задание:

1) определите вероятность выигрыша при покупке 5 билетов;

2) определите количество билетов, которое необходимо приобрести, чтобы выиграть с вероятностью не менее 0,9;

3) определите, что вероятнее: выиграть или не выиграть при покупке 7 билетов?

Задача 6. Предположим, что число магазинов неограниченно велико. В одной трети из них товар продается по цене 1$, в 1/3 - по цене 1,5$, в l/З – по цене 2$. Покупатель посещает наугад три магазина и приобретает товар в том из них, где цена наименьшая.

Задание: какова ожидаемая цена покупки?

Задача 7. В лотерее разыгрывается: автомобиль стоимостью 5000 ден. ед., 4 телевизора стоимостью 250 ден. ед., 5 видеомагнитофонов стоимостью 200 ден. ед. Всего продается 1000 билетов по 7 ден. ед.

Задание:

1)составить закон распределения чистого выигрыша, полученного участником лотереи;

2) вычислить математическое ожидание для случайной величины – чистого выигрыша;

3) вычислить дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины.

Задача 8. Дан ряд распределения случайной величины Х (табл.1.1):

Таблица 1.1

X	0	1	2	3
P	0,06	0,29	0,44	0,21

 

Задание:

1) найти математическое ожидание М(Х), дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х;

2) определить функцию распределения F(x) и построить ее график.

Задача 9. Следующая таблица представляет распределение годовой прибыли (Х) фирмы (табл.1.2):

Таблица 1.2

Х	-10	-5	0	10	20	25
P	0,05	0,15	0,25	0,30	0,20	0,05

 

Задание: определить ожидаемую прибыль, среднее квадратическое отклонение. Определить вероятность положительной прибыли.

Задача 10. Проведен маркетинговый анализ количества автомобилей в домохозяйствах района для определения целесообразности строительства станций техобслуживания. Обследовано 5000 домохозяйств. Из них в 250 автомобили отсутствовали, в 1500 было по 1 автомобилю, в 2500 – по 2, в 600 – по 3 и а 150 по 4. Станция будет рентабельна, если ее ежедневная загрузка составит 5 автомобилей.

Задание: целесообразно ли строительство станций в данном районе?

Задача 11. В результате длительных наблюдений установлено, что размеры Х/ и Y/ дивидендов по акциям фирм А и В соответственно являются независимыми нормально распределенными СВ: Х/ ~N (mх=5, σх= 5), Y/~N (my=15, σy=15). Стоимость каждой акции составляет 100$. Инвестор хочет приобрести акции на 1000$.

Задание:

1) какие законы распределения имеют доходы Х и Y от вложений всей суммы в акции только одной из фирм А или В?

2) какой закон распределения имеет доход Z от покупки акций в пропорции 2:3?

3) какова вероятность, что получаемый доход Z от вложения будет лежать в пределах от 110 до 150$?

Задача 12. Пусть Х, Y – годовые дивиденды от вложений в отрасли А и В соответственно. Риск от вложений характеризуется дисперсиями: D(Х) = 16, D(Y) = 9. Коэффициент корреляции (Х,Y) = -0,6.

Задание: что менее рискованно, вкладывать деньги в обе отрасли в соотношении 30% на 70% или только в отрасль В?

Задача 13. Доход Х населения имеет нормальный закон распределения со средним значением 1000$ и средним квадратическим отклонением 400$. Обследуется 1000 человек.

Задание: назовите наиболее вероятное количество человек с доходом более 1500$.

Задача 14. Доход  населения имеет нормальный закон распределения со средним значением 5000 руб. и стандартным отклонением 1000 руб. Обследуется 1000 человек.

Задание: каково наиболее вероятное количество человек, имеющих доход более 6000 руб.?

Задача 15. Прибыль в отрасли имеет нормальный закон распределения со средним значением 1млн$ и средним квадратическим отклонением 0,25 млн. $.

Задание: что вероятнее, получить прибыль не более чем 0,8 млн. $ или в пределах от 1,2 млн. $ до 1,5 млн. $?

Задача 16. Пусть СВ Х – ежемесячный доход (млн. руб.) определенной группы населения. При этом Х~N (m = 25; s2 = 36). Производится случайная выборка из 25 представителей данной группы.

Задание: какова вероятность, что их средний доход лежит в интервале от 15 до 30 млн. руб.?

Задача 17. Известно, что результат (балл) сдачи теста по эконометрике имеет нормальный закон распределения со средним значением 30. 20% студентов получили не менее 36 баллов.

Задание: можно ли сказать, чему равно среднее квадратическое отклонение указанной СВ?

Задача 18. Анализируется размер дивидендов по акциям некоторой компании. Для этого отобраны данные за последние 20 лет: 5, 10, 7, -5, 3, 10, 15, 10, 5, -3, -5, 3, 7, 15, 10, 10, 0, -2, 5, 10.

Задание: каков ожидаемый размер дивидендов? как можно оценить риск от вложений в данную компанию?

Задача 19.   Цена некоторого товара в 20 магазинах была следующей:

50; 48; 47; 55; 50; 45; 50; 52; 48; 50; 52; 48; 50; 47; 50; 48; 52; 50; 50; 48.

Задание: определите:

1) выборочные числовые характеристики;

2) несмещенные оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения цены товара.

Задача 20. В таблице 1.3 приведены данные за 10 лет (1999-2008) по количеству вновь регистрируемых фирм (Х) и по количеству банкротств (Y) в некотором государстве (табл. 1.3):

Таблица 1.3

Год	Х	Y	Год	X	Y
1999	72 500	1020	2004	82 500	3 000
2000	72 900	1290	2005	87 000	4 000
2001	74 150	1830	2006	86 500	4 200
2002	73 500	2250	2007	90 000	4 500
2003	78 350	2500	2008	89 000	4 000

 

Задание:

1) каково ожидаемое количество вновь регистрируемых фирм в течение года для данного временного интервала; каковы выборочная дисперсия и среднее квадратическое отклонение для этого показателя?

2) каково ожидаемое количество банкротств в течение года для данного временного интервала; каковы выборочная дисперсия и среднее квадратическое отклонение для этого показателя?

3) вычислите ковариацию и коэффициент корреляции между Х и Y. Являются ли эти переменные независимыми?

4) если X и Y коррелированны, то можно ли утверждать, что один из этих показателей являются «следствием» другого, т.е. изменение одного влечет изменение другого?

Задача 21. Приведена статистика по годовым темпам (%) инфляции в стране за последние 10 лет: 2,8; 3,2; 5,1; 1,8;-0,6; 0,7; 2,1; 2,7; 4,1; 3,5.

Задание: необходимо найти несмещенные оценки среднего темпа инфляции, дисперсии и среднего квадратического отклонения.

Задача 22. За последние 12 лет статистические данные по годовым темпам инфляции (%) в стране составили: 1,7; 1,2; 2,8; 3,3; 5,1; 1,9; -0,8; 0,3; 2,3; 2,8; 4,0; 3,6.

Задание: найти несмещенные оценки среднего темпа инфляции, ее дисперсии и среднего квадратического отклонения.

Задача 23. Оценивается годовой доход (Х, тыс.$) на душу населения в некотором городе. Случайная выборка из 16 обследованных человек дала следующие результаты: 8,5; 10,5; 12,25; 7,0; 17,0; 8,75; 10,0; 9,3; 8,0; 11,5; 10,0; 12,0; 9,0; 6,5; 13,0; 10,2. Оцените среднедушевой доход в городе и разброс в доходах.

Задание: будут ли такими же значения для всего города?

Задача 24. Предполагается, что месячный доход граждан страны имеет нормальное распределение с мат. ожиданием m = 1000$ и дисперсией s² = 40000. По выборке из 500 человек определили выборочный средний доход `х = 900$.

Задание:

1) постройте 90 и 95% доверительные интервалы для среднедушевого дохода в стране;

2) следует ли на основании построенных доверительных интервалов отклонить предположение о ежемесячном доходе в 1000$?

Задача 25. Даны результаты 8 независимых измерений веса (гр.) упаковки сахара прибором, не имеющим систематических ошибок: 369; 378; 315; 420; 385; 401; 372; 383.

Задание:

1) определить несмещенную оценку дисперсии ошибок измерений, если вес упаковки сахара известен =375 гр.;

2) определить несмещенную оценку дисперсии ошибок измерений, если вес упаковки сахара неизвестен.

Задача 26. При изучении производительности труда  (тыс. руб.) на одного работника торговли было обследовано 68 однотипных магазинов. При этом выборочное среднее признака  составило 5,28 тыс. руб., а выборочное стандартное отклонение - 0,63 тыс. руб. Изменчивость признака  описывается законом нормального распределения.

Задание:

1) определите доверительный интервал для ожидаемого среднего значения  производительности труда с заданной надежностью 0,95;

2) определите вероятность того, что величина производительности труда  в выбранном наугад магазине окажется в пределах от 5,0 тыс. руб. до 6,0 тыс. руб.

Задача 27.  При изучении предела прочности ткани (Н/cм) было испытано 15 образцов, при этом выборочный средний предел прочности составил 27,3 Н/cм, а исправленное стандартное отклонение 2,2 Н/cм.

Задание: определите  доверительный интервал для ожидаемого среднего предела прочности  ткани данного артикула с заданной надежностью 0,95, предполагая, что изменчивость показателя  описывается законом нормального распределения.

Задача 28. Задание: найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0,975 точность оценки математического ожидания  генеральной совокупности по выборочной средней будет равна 0,3 нормально распределенной генеральной совокупности.

Задача 29. Задание:   каков должен быть минимальный объем выборки  для того, чтобы с надежностью 0,99 точность оценки  математического ожидания  генеральной совокупности с помощью выборочного среднего была 0,2, если стандартное отклонение совокупности 1,5?

Задача 30.  При оценке свойств картофеля было обследовано 20 проб и получены следующие значения содержания крахмала  (%) (табл.1.4):

Таблица 1.4

xi	113,0	113,5	114,0	114,5	115,0	115,5	116,0
Частота,ni	3	3	15	6	2	2	1

Задание: оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание  нормально распределенной случайной величины  генеральной совокупности по выборочной средней при помощи доверительного интервала.

Задача 31. При изучении объема товарооборота  (млн. руб) 10 магазинов города, торгующих одинаковым ассортиментом товаров, найдено среднее арифметическое 30,1 и исправленное среднее квадратическое 6 статистических данных.

Задание: оценить истинное значение изучаемой величины с помощью доверительного интервала с надежностью 0,99.

Задача 32.   Произведено 12 измерений одним прибором, не имеющем систематических ошибок, некоторой физической величины. Исправленное среднее квадратическое отклонение  случайных ошибок измерений оказалось равным 0,6.

Задание: найти точность прибора с надежностью 0,99.

Рекомендуемая литература

1. Бородич С. А. Эконометрика: учебное пособие. -Мн.: Новое знание, 2006.- Гл. 1,2,3.

2. Эконометрика: учебник. /Под ред. И. И. Елисеевой. 2-е изд. -М.: Финансы и статистика, 2005.- Гл. 1.

Тема 1.2. Основные понятия теории вероятностей и статистики, применяемые в эконометрике (2 занятия)

Занятие

Вопросы для изучения

1. Основные понятия теории вероятностей. Нормальное распределение и связанные с ним - распределение, распределение Стьюдента и Фишера.

2. Генеральная совокупность и выборка. Статистическое оценивание. Свойства точечных оценок.

3. Интервальные оценки.

Контрольные вопросы

1. Приведите примеры случайных событий в экономике. Можно ли дать им вероятностное описание?

2. Перечислите основные свойства математического ожидания.

3. Перечислите основные свойства дисперсии.

4. Дайте определение ковариации.

5. Как определяется коррелированность и некоррелированность случайных величин?

6. Что такое генеральная совокупность и выборка?

7. Как вычисляются основные числовые характеристики по результатам выборки: выборочные среднее, дисперсия, среднее квадратическое отклонение?

8. Дайте определение несмещенности, эффективности и состоятельности.

9. Какие оценки называются наилучшими линейными несмещенными?

10. Что такое точечная и интервальная оценка?

Практические задания

Задача 1. Предполагается, что месячный доход граждан страны имеет нормальное распределение с математическим ожиданием =1000 $ и дисперсией 40000. По выборке из 500 человек определили выборочный средний доход 900 $.

Задание: следует ли на основании 95% доверительного интервала отклонить предложение о ежемесячном доходе в стране в 1000 $?

Задача 2.   Взвешено 25 пакетов с чипсами, заполняемых автоматом, и найдено исправленное среднее квадратическое отклонение 1.

Задание: найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение  с надежностью 0,95, если считать вес пакета  нормально распределенной случайной величиной.

Задача 3. Вес продуктов измеряется прибором, систематическая ошибка которого равна нулю, а случайные ошибки распределены нормально со средним квадратическим отклонением =20 г.

Задание: сколько необходимо сделать независимых взвешиваний продукта, чтобы определить вес с ошибкой не более 15 г при доверительной вероятности 0,9?

Задача 4. На контрольных испытаниях 16 осветительных ламп были определены несмещенные оценки математического ожидания 3000 часов и среднего квадратического отклонения 20 час их срока службы. Производитель ламп дает гарантию срока службы в 3100 часов. Срок службы каждой лампы является нормальной величиной.

Задание:

а) определите доверительный интервал для математического ожидания и среднего квадратического отклонения при доверительной вероятности 0,95;

б) можно ли по полученным данным доверять рекламе производителя?

Задача 5. На основе продолжительных наблюдений за весом  пакетов орешков, заполняемых автоматом, установлено, что стандартное отклонение веса пакетов =10 г. Взвешено 25 пакетов и найден их средний вес 244 г.

Задание: в каком интервале с надежностью 95% находится истинное значение среднего веса пакетов?

Задача 6. Обследование 25 человек показало, что их средний доход составил 1200 $ при среднем отклонении 120 $.

Задание: полагая, что доход имеет нормальный закон распределения, определить:

а) 95% интервальные оценки для математического ожидания  и среднего квадратического отклонения ;

б) вероятность того, что абсолютное значение ошибки оценивания  не превзойдет 50 $;

с) количество обследованных, чтобы абсолютное значение ошибки оценивания  не превзошло 50 $ с вероятностью 0,9.

Задача 7. Пусть ,  - годовые дивиденды от вложений денежных средств в акции компаний А и В соответственно. Риск от вложений характеризуется дисперсиями 25, 16. Коэффициент корреляции =0,8.

Задание: что менее рискованно, вкладывать деньги в обе компании в соотношении 25% и 75% или только в компанию В?

Задача 8. Станок-автомат заполняет пакеты чипсами по 250 г. Считается, что станок требует подналадки, если стандартное отклонение от номинального веса превышает 5 г. Контрольное взвешивание 10 пакетов дало следующие результаты: 245, 248, 250, 250, 252, 256, 243, 251, 244, 253.

Задание: постройте 95 и 99% доверительные интервалы для стандартного отклонения от номинального веса.

Задача 9. На основании наблюдений за работой 25 кандидатов на должность секретаря-референта установлено, что в среднем они тратили 7 минут на набор одной страницы сложного текста на компьютере при выборочном стандартном отклонении S = 2 мин.

Задание:

1) определите 90 и 99% доверительные интервалы для мат. ожидания mx и среднего квадратического отклонения sx;

2) оцените количество претендентов на работу, которые набрали текст быстрее, чем за 5 минут.

3) не противоречат ли полученные данные предположению о том, что среднее время набора страницы должно составить 5 минут?

Задача 10. Обследование 25 человек показало, что их средний доход составил 1200$ при среднем отклонении S=120$. Доход имеет нормальный закон распределения.

Задание:

1) определите 90% интервальные оценки для мат. ожидания m и среднего квадратического отклонения s;

2) с какой вероятностью можно утверждать, что абсолютное значение ошибки оценивания m не превзойдет 50$;

3) каким должно быть количество обследованных, чтобы абсолютное значение ошибки оценивания m не превзошло 50$ с вероятностью 0,9?

Занятие

Вопросы для изучения

1. Статистические выводы и проверка гипотез. Ошибки 1 и 2 рода.

2.  Двух – и односторонние критерии проверки.

Контрольные вопросы

1. Что такое нулевая и альтернативная гипотезы?

2. Что такое статистический критерий, уровень значимости?

3. Какова цель проверки гипотез?

4. Приведите общую схему проверки гипотез.

5. Чем отличаются проверка гипотезы о математическом ожидании нормальной случайной величины при известной и неизвестной дисперсиях?

6. Какая случайная величина применяется в качестве критерия проверки гипотезы о величине дисперсии нормальной случайной величины?

7. Какая случайная величина применяется в качестве критерия проверки гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных случайных величин?

8. К проверке каких гипотез сводятся исследования среднего дохода населения и анализ разброса в уровне дохода?

Практические задания

Задача 11. По исходным данным задачи 10 определить, как проверить предположение о ежемесячном доходе в 1000 $ на основании общей схемы проверки гипотез? Какую альтернативную гипотезу вы выбрали и почему?

 

Задача 12. По исходным данным задачи 8 определить необходимость подналадки станка на основе использования статистической проверки гипотез.

Задача 13. По исходным данным задачи 9 предполагалось, что среднее время набора страницы текста должно составить 5,5 минуты. Не противоречат ли полученные данные этой гипотезе?

Задача 14. Расход (Х) бензина автомобилей некоторой фирмы имеет нормальный закон распределения с mх=7,5л и sх=0,5 л. Выпустив новую модификацию автомобиля, фирма утверждает, что у него средний расход my топлива снижен до 7 л при том же значении s. Выборки из 15 автомобилей каждой модели дали следующие средние расходы: `х =7,45; `у =7,15.

Задание: Можно ли по этим данным доверять рекламе фирмы?

Задача 15. Два университета (А и В) готовят специалистов аналогичных специальностей. Министерство образования решило проверить качество подготовки в обоих университетах, организовав для этого объемный тестовый экзамен для студентов пятого курса. Отобранные случайным образом студенты показали следующие суммы баллов:

А: 41, 50, 35, 45, 53, 30, 57, 20, 50, 44, 36, 48, 55, 28, 40, 50.

В: 40, 57, 52, 38, 25, 47, 52, 48, 55, 48, 53, 39, 46, 51, 45, 55, 43, 51, 55, 40.

Задание:

1) каковы точечные оценки средних баллов и дисперсий результатов для обоих университетов?

2) можно ли утверждать при уровне значимости a=0,05, что один из университетов обеспечивает лучшую подготовку? Какие тесты целесообразно использовать для такого рода анализа?

3) сравните разброс в знаниях студентов этих университетов.

4) были бы выводы такими же при уровне значимости a=0,01?

Задача 16. Предполагается, что месячная зарплата сотрудников фирмы составляет 1000$ при стандартном отклонении s = 100$. Выборка из 36 человек дала следующие результаты: `х = 900$ и S = 150$.

Задание: можно ли по результатам проведенных наблюдений утверждать, что средняя заработная плата сотрудников фирмы меньше рекламируемой, а разброс в зарплатах больше? Какие критические области вы в этом случае использовали?

Задача 17. При анализе зависимости между двумя показателями Х и Y по 25 наблюдениям получены следующие данные:`х =100; `у =75; å(xi -`x)2 = 625; åxiyi = 187; å(yi -`y)2 = 484. Оцените наличие линейной зависимости между Х и Y.

Задание: будет ли коэффициент корреляции rxy статистически значимым?

Задача 18. Проверьте значимость коэффициента корреляции по следующим данным:

1) r_xy = -0,43; n=60; a=0,1 при альтернативной гипотезе Н1: rxy < 0;

2) r_xy=0,2; n=45; a=0,05 при альтернативной гипотезе Н1: rxy¹0;

3) r_xy= -0,35; n=100; a=0,01 при альтернативной гипотезе Н1: rxy¹0.

Задача 19. Анализируется зависимость между доходами горожан (СВ Х), имеющих индивидуальные домовладения, и рыночной стоимостью их домов (СВ Y). По случайной выборке из 450 горожан данной категории получены следующие результаты:

åxi = 25200; åyi = 110500; å(xi - x)2 =72300; å(yi-`y)2 =1500200;

å(xi -`x)(yi -`y)2 = 201350.

Задание:

1) вычислите выборочные средние и стандартные отклонения для обоих показателей.

2) можно ли было ожидать, что стандартные отклонения для рассматриваемых случайных величин приблизительно равны между собой? Проверьте это предположение при уровне значимости a=0,05.

3) постройте 95% доверительный интервал для средней стоимости домов. Какое предположение вы сделали при этом?

4) проверьте гипотезу о наличии сильной линейной зависимости между исследуемыми показателями (a=0,01).

Задача 20.  Из нормальной генеральной совокупности с известным средним квадратическим отклонением 5,2 извлечена выборка объема 100 и по ней найдено выборочное среднее 27,56.

Задание: на уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу : 26: а) при конкурирующей гипотезе : ;

    б) при конкурирующей гипотезе : .

Задача 21. Средний вес таблетки лекарства (m) должен быть равен 0,5мг. Многократные опыты по взвешиванию таблеток показали, что вес таблеток распределен нормально со средним квадратическим отклонением 0,11 мг. Выборочная проверка 121 таблетки полученной партии лекарств показала, что средний вес таблетки партии 0,53 мг.

Задание: требуется на уровне значимости 0,01 проверить гипотезу : 0,50 при конкурирующей гипотезе:

    а) : ;

    б) : .

Задача 22.  В социологическом обследовании приводятся выборочные данные о времени  (мин), проведенном 100 посетителями за столиком в одном из кафе: выборочное среднее 58,3, исправленное стандартное отклонение 3,6.

Задание: требуется на уровне значимости 0,05 проверить гипотезу : 60 при конкурирующей гипотезе : .

Задача 23.  Проектный контролируемый вес пакета растворимого кофе, расфасованного станком-автоматом 35 г. Измерения 20 случайно отобранных пакетов дали следующие результаты (табл.1.5):

Таблица 1.5

Вес	34,8	34,9	35,0	35,1	35,3
Частота	2	3	4	6	5

 

Задание: Требуется на уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу : 35 при конкурирующей : .

Задача 24.  Точность работы станка-автомата, заполняющего пакеты со стиральным порошком, определяется совпадением веса пакетов. Дисперсия веса не должна превышать 25. По выборке из 20 пакетов определена исправленная дисперсия 30.

Задание: определить на уровне значимости 0,05 требуется ли переналадка станка?

Задача 25. Точность работы станка-автомата проверяется по дисперсии контролируемого размера изделий, которая не должна превышать 0,1. Взята проба из случайно отобранных изделий и получены следующие результаты измерений (табл.1.6):

Таблица 1.6

Размер, xi	3,0	3,5	3,8	4,4	4,5
Частота, ni	2	6	9	7	1

 

Задание: требуется на уровне значимости 0,05 проверить, обеспечивает ли станок требуемую точность.

Задача 26. Партия изделий принимается, если дисперсия контролируемого веса изделия значимо не превышает 0,2. Исправленная выборочная дисперсия, найденная по выборке объема 31, оказалась равной 0,3.

Задание: можно ли принять партию изделий при уровне значимости 0,01?

Задача 27. По выборке объема 30 найден средний вес пакетов 139 г, расфасованных станком-автоматом №1. По выборке объема 40 найден средний вес пакетов 125 г, расфасованных станком-автоматом №2. Генеральные дисперсии известны: 60, 80. Предполагается, что случайные величины  распределены нормально и выборки независимы.

Задание: при уровне значимости 0,05 проверить, значимо ли различается вес пакетов, расфасованных различными автоматами?

Задача 28.   В университете проведен анализ успеваемости среди студентов и студенток за последние 25 лет. Случайные величины , представляющие их суммарный балл за время учебы соответственно, имеют нормальный закон распределения. Получены следующие данные: 400, 420, 300, 150.

Задание: можно ли на уровне значимости 0,05 утверждать, что девушки в среднем учатся лучше ребят?

Задача 29. Задание: В условиях задачи 28 определить, есть ли основание считать, что разброс оценок студентов больше, чем у студенток?

Задача 30. Из двух партий изделий, изготовленных на двух одинаково настроенных станках, извлечены малые выборки, объемы которых 10, 12. Получены следующие результаты (табл.1.7):

Таблица 1.7

Размер изделий 1-го станка	3,4	3,5	3,7	3,9	Размер изделий 2-го станка	3,2	3,4	3,6
Частота	2	3	4	1	Частота	2	2	8

 

Задание: при уровне значимости 0,01 проверить допущение о равенстве генеральных дисперсий и при положительном ответе проверить предположение о равенстве средних размеров изделий.

Задача 31. Расход  бензина автомобилей некоторой фирмы имеет нормальный закон распределения 7,5 л и 0,5 л. Выпустив новую модификацию автомобиля, фирма утверждает, что у него средний расход снижен до 7 л при том же значении стандартного отклонения. Выборки из 15 автомобилей каждой модели дали следующие средние расходы топлива: 7,45; 7,15.

Задание: можно ли по этим данным доверять рекламе фирмы?

Задача 32. Для сравнения точности двух станков-автоматов взяты две пробы (выборки), объемы которых 10, 8. В результате измерения контролируемого размера отобранных изделий получены следующие результаты:

 

: 1,08; 1,10; 1,12; 1,14; 1,15; 1,25; 1,36; 1,38; 1,40; 1,42;

: 1,11; 1,12; 1,18; 1,22; 1,33; 1,35; 1,36; 1,38.

Задание: можно ли считать, что станки обладают одинаковой точностью на уровне значимости 0,1.

Задача 33. По двум независимым выборкам, объемы которых 9 и 6, найдены выборочные дисперсии 14,4 и 20,5 годовых дивидендов от вложений в отрасли А и В соответственно.

Задание: при уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о равенстве рисков при вложении денег в обе отрасли.

Задача 34. Предполагается, что месячная зарплата сотрудников фирмы составляет 1000 $ при стандартном отклонении 100 $. Выборка из 36 человек дала следующие результаты: 900 $, 150 $.

Задание: можно ли по результатам приведенных наблюдений при уровне значимости 0,01 утверждать, что средняя зарплата сотрудников фирмы меньше рекламируемой, а разброс в зарплатах больше?

Задача 35. Анализируется зависимость между доходами  горожан, имеющих индивидуальные домовладения, и рыночной стоимостью  их домов. По случайной выборке из 120 горожан данной категории получены следующие результаты:

25200; 110500; 72300;

1500200; 201350.

Задание: при уровне значимости 0,01 проверить предположение о равенстве дисперсий рассматриваемых случайных величин и гипотезу о наличии сильной линейной зависимости между исследуемыми показателями.

Задача 36. Объем продаж  (тыс. руб) и расходы на рекламу  (тыс. руб) по 62 предприятиям концерна характеризуется выборочным коэффициентом корреляции 0,3.

Задание: при уровне значимости 0,05 проверить значимость коэффициента корреляции.

Задача 37. Определяется наличие линейной зависимости между уровнями инфляции  и безработицы  в некоторой стране за 11 лет. По статистическим данным рассчитан выборочный коэффициент корреляции - 0,34.

Задание: при уровне значимости 0,01 установить, существует ли значимая линейная связь между указанными показателями в данной стране на рассматриваемом временном интервале?

Задача 38. Сменная добыча угля на одного рабочего  (т) и мощность угольного пласта  (м), характеризующие процесс добычи угля на 10 шахтах, представлены в таблице (табл.1.8):

Таблица 1.8

	8	11	12	9	8	8	9	9	8	12
	5	10	10	7	5	6	6	5	6	8

 

Задание: вычислить коэффициент корреляции между переменными  и  и оценить при 0,01 его значимость.

Рекомендуемая литература

1. Бородич С. А. Эконометрика: учебное пособие. -Мн.: Новое знание, 2006.- Гл. 1,2,3.

2. Эконометрика: учебник. /Под ред. И. И. Елисеевой. 2-е изд. -М.: Финансы и статистика, 2005.- Гл. 1.