Тема 3.2. Оценка качества модели множественной регрессии (2 занятия)

Занятие

Вопросы для изучения

1. Показатели качества множественной регрессии: индекс множественной корреляции и коэффициент детерминации. Скорректированный коэффициент детерминации.

2. Оценка значимости уравнения в целом и каждого параметра в отдельности.

Контрольные вопросы

1. Какие основные подходы реализуются при проверке адекватности построенного уравнения линейной модели множественной регрессии?

2. Как определяется статистическая значимость коэффициентов регрессии в линейной модели множественной регрессии?

3. Как строятся доверительные интервалы для параметров линейной модели множественной регрессии?

4. В чем недостаток использования коэффициента детерминации при оценке общего качества линейной модели множественной регрессии?

5. Как корректируется коэффициент детерминации?

6. Каково назначение частной корреляции при построении модели множественной регрессии?

7. Как проверяется адекватность линейной модели множественной регрессии в целом?

8. Как определяется индекс множественной корреляции и какой он имеет смысл?

Практические задания

Задача 1. На основе ежегодных статистических данных за 15 лет оценены параметры линейной модели совокупных издержек относительно объема продукции и возраста оборудования :

Коэффициент множественной корреляции равен 0,7.

Задание: при уровне значимости 0,05 исследовать, можно ли считать этот коэффициент статистически существенным?

Задача 2. На основе статистических данных за 10 лет оценены параметры и их стандартные ошибки линейной модели, описывающей зависимость объемов производства от количества работающих и установочной мощности оборудования :

(6,5) (5,1) (0,83)

Задание: для уровня значимости 0,05 установить, оказывают ли объясняющие переменные , существенное влияние на объясняемую переменную ?

Задача 3. Имеются данные регрессионного анализа цен на туристические палатки. Уравнение регрессии имеет следующий вид: Цена=120+73,2*(вес)-7,52*(площадь) (табл.3.5):

Таблица 3.5

Независимая переменная	Коэффи-циент	Стандартная ошибка	t-статистика	p
Константа	120,3	54,82	2,19	0,037
Вес	73,17	15,37	4,76	0,000
Площадь	-7,517	2,546	-2,95	0,006

R²=0,567, R²скорр.=0,535.

Задание:

В каталоге компании, продающей туристические палатки указывается цена, вес и площадь 30 палаток. По результатам множественной регрессии ответьте на ряд вопросов:

1) стоят ли более тяжелые палатки в среднем дороже или дешевле, чем легкие, если речь идет о палатках заданного размера?

2) стоят ли большие палатки в среднем дороже или дешевле, чем меньшие палатки, если речь идет о палатках заданного веса?

3) какой процент вариации цен объясняется информацией, доступной руководству компании?

4) найдите цену палатки, вес которой составит 5 кг, а площадь 4 квадратных метра.

5) Является ли значимым F-тест. О чем он свидетельствует?

Задача 4. По 30 заводам, выпускающим продукцию А, изучается зависимость потребления электроэнергии y (тыс. кВт*ч) от производства продукции – x₁ (тыс. ед.) и уровня механизации труда – x₂ (%). Данные приведены в таблице (табл.3.6):

Таблица 3.6

Признак	Среднее значение	Среднее квадратическое отклонение	Парный коэффициент корреляции
y	1000	27	ryx1=0,77
x1	420	45	ryx2=0,43
x2	41,5	18	rx1x2=0,38

Задание:

1) постройте уравнение множественной регрессии в стандартизованной и натуральной форме;

2) определите показатели частной и множественной корреляции;

3) найдите частные коэффициенты эластичности и сравните их с β-коэффициентами.

Задача 7. Имеются данные регрессионного анализа чистого дохода в зависимости от стоимости капитала и численности служащих по 20 предприятиям (табл.3.7):

Таблица 3.7

Множественный R	?
R-квадрат	?
Нормированный R-квадрат	?
Стандартная ошибка	1,249
Наблюдения	20
Продолжение таблицы 3.7
	df	SS	MS	F
Регрессия	?	30,821	?	?
Остаток	?	26,537	?
Итого	?	57,358
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение	1,706	0,463	?	0,002
X1	0,072	0,016	?	0,0003
X2	-0,002	0,002	?	0,202

Задание:

1) запишите линейное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров;

2) оцените качество уравнения и проверьте значимость коэффициентов регрессии и R²при α=0,05.

Задача 8. По 30 наблюдениям матрица парных коэффициентов корреляции оказалась следующей:

Задание:

1) построить уравнение регрессии в стандартизованном виде и сделать выводы.

2) вычислить коэффициент множественной корреляции и детерминации.

Задача 9. Модель зависимости совокупного объема сельскохозяйственной продукции от обеспечения сельского хозяйства отборным посевным материалом , совокупным объемом продукции растениеводства в предыдущем году и поставками комбикормов имеет вид:

Средние арифметические значения переменных равны:

167,9; 412,5; 124,4; 3854.

Задание: рассчитать значения средних коэффициентов эластичности объясняющих переменных и выявить важнейший фактор, предопределяющий результаты сельскохозяйственного производства.

Занятие

Вопросы для изучения

1. Сравнение двух регрессий при включении и при исключении отдельных наборов переменных.

2. Частные F - критерии.

Контрольные вопросы

1. Назовите способы отбора факторов для включения в линейную модель множественной регрессии.

2. Как проверить обоснованность исключения части переменных из уравнения регрессии?

3. Как проверить обоснованность включения группы новых переменных в уравнение регрессии?

4. Что такое частный F-критерий и чем он отличается от последовательного F-критерия?

5. Как связаны между собой t-критерий Стьюдента для оценки значимости b_i и частные F-критерии?

Практические задания

Задача 10*. По 10 шахтам региона изучается зависимость сменной добычи угля на одного рабочего Y (т) от мощности пласта (м) и уровня механизации работ (%) (табл.3.8):

Таблица 3.8

Номер шахты	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	5	10	10	7	5	6	6	5	6	8
	8	11	12	9	8	8	9	9	8	12
	5	8	8	5	7	8	6	4	5	7

Задание:

1) полагая, что между переменными , , существует линейная корреляционная зависимость, найти ее аналитическое выражение (уравнение регрессии по и ). Пояснить экономический смысл коэффициентов регрессии;

2) установить раздельное влияние на сменную добычу угля двух факторов – мощности пласта и уровня механизации работ через средние коэффициенты эластичности;

3) проверить значимость коэффициентов регрессии и построить для них 95% доверительные интервалы;

4) сравнить значения коэффициента детерминации и его скорректированного варианта и проверить значимость полученного уравнения регрессии на уровне 0,05;

5) с помощью частных критериев оценить целесообразность включения в уравнение регрессии фактора после фактора и обратно: фактора после фактора .

Задача 11*. По 20 предприятиям региона изучается зависимость продукции на одного работника (тыс. руб) от ввода в действие новых основных фондов (% от стоимости фондов на конец года) и удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих (%) (табл.3.9):

Таблица 3.9

Номер предприятия				Номер предприятия
1	7	3,9	10	11	9	6,0	21
2	7	3,9	14	12	11	6,4	22
3	7	3,7	15	13	9	6,8	22
4	7	4,0	16	14	11	7,2	25
5	7	3,8	17	15	12	8,0	28
6	7	4,8	19	16	12	8,2	29
7	8	5,4	19	17	12	8,1	30
8	8	4,4	20	18	12	8,5	31
9	8	5,3	20	19	14	9,6	32
10	10	6,8	20	20	14	9,0	36

Задание:

1) построить уравнение линейной множественной регрессии, оценить значимость его параметров. Пояснить их экономический смысл;

2) с помощью критерия Фишера оценить статистическую надежность уравнения регрессии. Сравнить значения коэффициента множественной детерминации и его скорректированное значение;

3) с помощью частных критериев оценить целесообразность включения в уравнение фактора после и фактора после ;

4) рассчитать средние коэффициенты эластичности и дать сравнительную оценку силы влияния факторов на результат.

Задача 12. По 30 территориям России имеются следующие данные (табл.3.10):

Таблица 3.10

Признак	Среднее значение	Среднее квадратическое отклонение	Линейные коэффициенты парной корреляции
Среднедневной душевой доход	86,8	11,44	0,8405 -0,2101 -0,1160
Среднедневная зарплата	54,9	5,86
Средний возраст безработного	33,5	0,58

Задание:

1) построить уравнение множественной регрессии в стандартизованной и естественной форме, рассчитать средние коэффициенты эластичности и сравнить их со стандартизованными коэффициентами регрессии.

2) рассчитать линейные коэффициенты частной корреляции и коэффициент множественной корреляции и сравнить их с коэффициентами парной корреляции.

3) рассчитать общий и частные критерии Фишера.

Задача 13. По ряду регионов множественная регрессия величины импорта на определенный товар относительно отечественного его производства , изменения запасов и потребления на внутреннем рынке оказалась следующей