Инструментальные переменные

Что следует делать при наличии ошибок измерения? Если их причиной яв­ляется неточность при подготовке данных, то единственное, что можно сде­лать, — это обрабатывать данные более тщательно. Если же их причина заклю­чается в том, что измеряемая переменная принципиально отличается от ис­тинной объясняющей переменной в зависимости, то можно попытаться по­лучить более подходящие данные. Часто это бывает трудно осуществить на практике. Если требуется получить временной ряд по совокупному измерен­ному доходу, то его можно найти в национальных счетах, но не существует прямого способа получения данных по совокупному постоянному доходу.

Здесь мы объясним использование метода инструментальных переменных (ИП) — наиболее важной разновидности метода наименьших квадратов — для решения данной задачи. Это также будет иметь большое значение, когда мы приступим к оцениванию параметров моделей, состоящих из нескольких урав­нений.

В сущности, метод инструментальных переменных заключается в частичной замене непригодной объясняющей переменной такой переменной, которая не коррелирована со случайным членом. Ограничимся случаем парной регрессии:

 и допустим, что по какой-либо причине х имеет случайную составляющую, зависящую от e. Будем также предполагать, что в больших выборках D (x) стремится к конечному пределу σ _x². В этих условиях непосредственное приме­нение МНК для построения регрессионной зависимости у от х привело бы к несостоятельным оценкам параметров. Теперь предположим, что можно найти другую переменную z, которая кор­релирована с х, но не коррелирована с e. Можно показать, что основанная на исполь­зовании инструментальных переменных оценка параметра β, определяемая как

                                 является состоятельной при условии, что при увеличивающемся числе наблю­дений Cov (z, х) стремится к конечному, отличному от нуля пределу.