Задача анализа цепи. Законы Кирхгофа

Задача анализа цепи формулируется следующим образом: задана схема цепи со значениями параметров всех ее элементов, а также напряжения и токи источников, действующих в цепи. Требуется найти токи и напряжения ветвей, учитывая, что последние связаны ВАХ обычно, обычно определяют или ток или напряжение ветвей.

Число искомых неизвестных поэтому считается равным количеству ветвей графа цепи. Для нахождения этих неизвестных требуется составить n_в уравнений. Составленные уравнения должны быть линейно независимыми, т.к. любое из них не должно являться линейной комбинацией остальных. Уравнения цепи составляются на основе уравнений Кирхгофа:

I-й Закон Кирхгофа является следствием закона сохранения заряда. В узле электрический заряд не накапливается и не расходуется.

I-й Закон Кирхгофа: в любой момент времени алгебраическая сумма токов в узле электрической цепи равна нулю.

i₁+i₂-i₃-i₄-i₅=0

 

 

II-й Закон Кирхгофа, выражающий закон сохранения энергии, дает уравнение равновесия напряжения в контуре.

II-й Закон Кирхгофа: в любой момент времени алгебраическая сумма напряжений ветвей в контуре равна нулю.

 

i₁r₁+Ue₂--i₃r₃-Ue₃=0

Ue₂₌ e₂

Ue₃₌ e₃

i₁r₁-i₃r₃=e₃-e₂

Алгебраическая сумма падения напряжения в пассивных элементах контура равна алгебраической сумме ЭДС в действующем контуре.

 

Знак напряжения определяется выбором стрелок напряжения ветвей. Если при обходе контура стрелка напряжения совпадает с направлением обхода контура, то такому напряжению приписывается «+», если не совпадает – «-».

 

Рассмотрим выбор независимых узлов и контуров, которые дают необходимое и достаточное число линейно независимых уравнений, равновесие токов и напряжений в цепи.

Основным признаком независимости одного уравнения от других является наличие в нем какого-то нового неизвестного, которое не входило в другие уравнения:

 

Покажем, что число независимых узлов равно числу ветвей дерева, а число независимых контуров – числу ветвей связи.

 

 

Рассмотрим дерево графа.

 

 

Видно, что если рассматривать узлы этого дерева в порядке последовательного возрастания числа сходящихся ветвей, то в каждый новый узел, кроме последнего, входит ветвь, не вошедшая в другие предыдущие узлы.

Т.е. число независимых узлов на 1 меньше суммарного количества узлов. Последний узел будет давать зависимое уравнение, равное сумме всех уравнений независимых узлов. Т.о., число необходимых и достаточных уравнений, составляемых по I закону Кирхгофа и единственным образом определяющих состояние цепи, равно числу ветвей дерева.

Протекание токов по ветвям дерева исключено, т.к. отсутствуют контуры. При присоединении к каждой ветви связи образуется 1 контур, по которому будет протекать ток ветви связи, называемый контурным током.

Контуры, число которых будет равно числу ветвей связи, будут независимыми т.к. каждый контур образуется собственной ветвью связи.

Т.о., число необходимых и достаточных уравнений, составляемых по II закону Кирхгофа и единственным образом определяющих состояние цепи, равно числу ветвей связи.