Представление синусоидальных функций времени в комплексной форме

            Синусоидальную функцию времени, имеющую угловую частоту (омега) можно изобразить вектором, вращающимся с угловой скоростью (омега). Причём длина вектора в соответствующем масштабе определяется амплитудой синусоиды.

 

 

       Совсем не обязательно чтобы начало вектора совпадало с началом координат. Проекция вектора на ось ординат всё равно равна мгновенному значению синусоиды.

           

Таким образом, каждой синусоидальной функции может быть поставлен в соответствии вектор, на плоскости вращающийся вокруг начала координат с угловой скоростью (омега) синусоиды и имеющим длину равную амплитуде (Ам) и начальный угол с осью абсцисс равный начальной фазе синусоиды.

 

       Под словом сопоставить или поставить в соответствии понимается взаимно однозначно, следовательно, по заданной синусоиде можно построить вектор и наоборот.

 

       Для описания положительного вектора на плоскости удобно использовать комплексные числа. Всякий вектор на комплексной плоскости однозначно может быть описан комплексными координатами его начала и конца, а если вектор свободный, то для его задания достаточно указать разность координат конца и начала.

 

       Первые два сомножителя рассматриваемой комплексной функции содержат информацию о векторе в начальный момент времени, а третий сомножитель …… - несёт информацию о вращении вектора на комплексной плоскости.

       -оператор вращения, умножение на это число не приводит к увеличению модуля комплексного числа, а равносильно только повороту вектора на угол …t в положительном направлении (против часовой стрелки).

       -комплекс синусоиды. Этот комплекс, если заранее оговорена угловая частота, несёт в себе всю информацию о синусоидальной функции, модуль которой равен действительному значению синусоиды, а аргумент начальной фазе синусоиды. Это позволяет установить взаимно однозначное соответствие между совокупностью синусоидальных функций одной и той же частоты, и совокупностью комплексов этих функций. Факт соответствия между синусоидой и комплексом обозначается:

                  

i- мгновенное значение тока

I- действующее значение тока

Iам- амплитудное значение тока.

 

       Метод, основанный на символическом изображении действительной синусоидальной функции времени комплексными числами называется комплексным методом, его часто называют символическим методом.

       В теорию переменных токов этот метод впервые был введён американцем Каннели (1893-1994). В России этот метод впервые был применён академиком Меткевич. В комплексном методе говорят и имеют дело с векторами напряжения, ЭДС, токов и магнитными потоками.

       Конечно, эти вектора имеют иной смысл в отличие от смысла векторов определяющих фазные величины, в пространстве вектора скорости, силы, напряженности поля и т.д.

       При рассмотрении установившихся синусоидальных процессов начальную фазу однофазной величины можно выбрать произвольно. Например, начальная фаза приложенного напряжения соответствует расположению вектора изображающего эту величину. Вектора всех остальных величин будут повёрнуты по отношении к нему на углы равные сдвигу фаз.

       Совокупность векторов, характеризующая процессы, происходящие в той или иной цепи переменного тока, и построенные с соблюдением правильной ориентации друг относительно друга называется векторной диаграммой. На векторную диаграмму мы будем наносить комплексы, а не амплитуды, при этом учитываем, что изучаемые вектора являются свободными, то есть их можно переносить параллельно и располагать в любой точке комплексной области.

       Рассмотрим вопрос о комплексной сумме двух синусоидальных функций времени одинаковой частоты, но с разными амплитудами и начальными фазами.