Построение наблюдателя полного порядка

Система

 

 

называется асимптотическим наблюдателем полного порядка, если для любого начального состояния х(0) и всех  оценка  с ростом времени асимптотически приближается к вектору состояния .

Найдём структуру асимптотического наблюдателя, для чего определим ошибку восстановления  и найдём модель её изменения:

 

.

Затем потребуем, чтобы  при всех  и .

Это равенство возможно при:

 

,

.

 

Таким образом, структура асимптотического наблюдателя полного порядка определяется моделью вида:

 

.

 

На рис. 9 изображена структура системы и её наблюдателя.

 

Рис. 9. Структура системы с наблюдателем

 

Задача синтеза наблюдателя системы состоит в том, чтобы найти матрицу . Это можно сделать, исходя из условия асимптотической сходимости оценки  к вектору состояния  при любых начальных состояниях наблюдателя и системы.

Пусть ошибка восстановления , тогда

.

Ошибка восстановления описывается линейным однородным дифференциальным уравнением с матрицей  и ненулевыми начальными условиями, а поэтому асимптотическая сходимость ошибки к нулю возможна тогда и только тогда, когда собственные числа матрицы , которые называют полюсами наблюдателя, располагаются в левой полуплоскости.

Пусть матрица

 

,

 

тогда матрица

 

.

Полюса наблюдателя определяются уравнением:

 

.

 

Переходные процессы в наблюдателе будут несравнимы с процессами в системе, если полюса наблюдателя будут значительно левее полюсов системы. Поскольку характеристические числа замкнутой системы равны:

{– 4; ± 5j},

то расположим полюса наблюдателя в точках:

.

Желаемый характеристический полином наблюдателя принимает вид:

 

,

что будет иметь место тогда, когда:

 

,

,

.

 

Решая полученную систему уравнений, получаем:

 

;

;

.

 

Находим матрицу:

 

 

Модель асимптотического наблюдателя системы принимает вид:

 

,

,

,

.

 

Структура системы со своим асимптотическим наблюдателем полного порядка представлена на рис. 10.

Она построена по уравнениям:

,

,

,

,

,

,

.